El hecho de que el polinomio mínimo de una matriz compañera $C(f)$ es $f$ es evidente, como se ha indicado anteriormente. El hecho de que su polinomio característico sea también $f$ es un ejercicio de cálculo clásico. El cálculo es preferible a la aplicación de Cayley-Hamilton porque este hecho puede utilizarse como ingrediente de una demostración elemental de ese teorema (al menos sobre campos) como se ha dicho anteriormente. A continuación daré un argumento más sencillo que no requiere módulos sobre un EPI.
Primero el cálculo del polinomio característico $$\left|\matrix{x&0&0&\ldots&a_0\\ -1&x&0&\ldots&a_1\\ 0&-1&x&\ldots&a_2\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0 & \cdots & 0 & -1 & x+a_{n-1}}\right| . $$ Una forma es añadir la última fila $x$ veces a la fila anterior, entonces esa fila $x$ veces a la anterior y así sucesivamente hasta la primera fila, lo que resulta en un determinante de la forma $$\left|\matrix{0&0&0&\ldots&f\\ -1&0&0&\ldots&*\\ 0&-1&0&\ldots&*\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0 & \cdots & 0 & -1 & *}~\right| = f $$ donde el polinomio $f$ en la parte superior derecha se obtiene, de hecho, como en un esquema de Horner $f=a_0+x(a_1+x(\cdots(a_{n-2}+x(a_{n-1}+x))\cdots))$ .
Otro método es desarrollar la matriz por la primera fila, y aplicar la inducción sobre el tamaño. El menor que el $x$ se multiplica por es de nuevo una matriz compañera, pero para el polinomio $(f-a_0)/x=a_1+a_2x+\cdots+a_{n-1}x^{n-2}+x^{n-1}$ y el coeficiente $a_0$ se multiplica por $(-1)^{n-1}$ veces el determinante de una matriz triangular superior de tamaño $n-1$ con todas las entradas diagonales $-1$ , lo que da $a_0$ En el caso inicial, la matriz de este tipo para el polinomio $a+x$ es un $1\times1$ matriz con $x+a$ como coeficiente. De nuevo el polinomio se encuentra como en un esquema de Horner.
Otra forma es escribir el determinante como $$ x^n+\left|\matrix{x&0&0&\ldots&a_0\\ -1&x&0&\ldots&a_1\\ 0&-1&x&\ldots&a_2\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0 & \cdots & 0 & -1 & a_{n-1}}\right| $$ y desarrollar por la última columna, observando que el cofactor por el cual la entrada $a_k$ se multiplica es $(-1)^{n-1-k}$ veces un menor que tiene una descomposición en bloque $M=\left|{L\atop0}~{0\atop{U}}\right|$ donde $L$ es una matriz triangular inferior de tamaño $k$ con entradas $x$ en la diagonal, y $U$ es una matriz triangular superior de tamaño $n-1-k$ con entradas $-1$ en la diagonal, haciendo que el cofactor $x^k$ y el polinomio característico $f$ .
Ahora la demostración elemental del teorema de Cayley-Hamilton. Se procede por inducción en $n$ el caso $n=0$ siendo trivial. Para $n>0$ tomar un vector no nulo $v$ y que $V$ sea el subespacio generado por sus imágenes repetidas bajo la transformación lineal $\phi$ que tiene una base $v,\phi(v),\ldots,\phi^{d-1}(v)$ donde $d=\dim(V)>0$ es el grado del polinomio mínimo $P$ que aniquila $v$ cuando se actúa por $\phi$ . Extender a una base de todo el espacio, en cuya base $\phi$ tiene una matriz de la forma $M=\left({A\atop0}~{{*}\atop{B}}\right)$ , donde $A$ es la matriz compañera de $P$ .
Uno tiene $\chi_M=\chi_A\chi_B$ , donde $\chi_A=P$ por el cálculo anterior. Ahora se obtienen matrices nulas al evaluar $P$ en $A$ (porque $P$ es su polinomio mínimo) y (por inducción) al evaluar $\chi_B$ en $B$ . Así, la evaluación de $\chi_M=P.\chi_B$ en $M$ da un producto matricial que en forma de bloque es $\left({0\atop0}~{{*}\atop{*}}\right)\cdot\left({{*}\atop0}~{{*}\atop0}\right) =\left({0\atop0}~{0\atop0}\right)$ . Tenga en cuenta que una no puede utilizar la hipótesis de inducción para $A$ La pregunta es: ¿se puede tener $d=n$ , en cuyo caso $A$ no es menor que el caso que se está probando actualmente (de hecho, este será el caso para las elecciones "genéricas" de $M$ y $v$ ). Por lo tanto, tratar explícitamente el caso de la matriz compañera es realmente necesario en esta línea de razonamiento.
