Estoy leyendo el libro de Behnke Fundamentos de las matemáticas :
Si el número de axiomas es finito, podemos reducir el concepto de consecuencia al de tautología.
Tengo curiosidad por esto: ¿Existen conjuntos infinitos de axiomas? Lo único que se me ocurre es la posible existencia de axiomas desconocidos y quizás la creencia de que este número de axiomas es infinito.
En los axiomas de Peano de primer orden el principio de la inducción matemática no es un axioma, sino una "plantilla" llamada esquema de axiomas . Para cada posible expresión (o "predicado") con una variable libre, $P(n)$ tenemos el axioma:
$$(P(0) \land \left(\forall n: P(n)\implies P(n+1)\right))\implies \\\forall n: P(n)$$
Por lo tanto, si $P(x)$ es el predicado, $x\cdot 0 = 1$ entonces tendríamos el axioma desordenado:
$$(0\cdot 0=1 \land \left(\forall n: n\cdot 0 =1\implies (n+1)\cdot 0=1\right))\implies \\\forall n: n\cdot 0 = 1$$
Nuestra inclinación es pensar en este esquema de axiomas como un único axioma cuando va precedido de " $\forall P$ ", pero en la teoría de primer orden, sólo hay un "tipo". En la teoría de números de primer orden, ese tipo es el "número natural". Así que no hay espacio en el lenguaje para el concepto de $\forall P$ . En la teoría de segundo orden podemos decir $\forall P$ .
En la teoría de conjuntos, se tiene una regla similar, la "axioma de especificación" que permite construir un conjunto a partir de cualquier predicado, $P(x,y)$ con dos variables libres:
$$\forall S:\exists T: \forall x: (x\in T\iff (x\in S\land P(x,S)))$$
(El axioma permite hacer más, pero este es un caso sencillo).
lo que significa esencialmente que existe un conjunto:
$$\{x\in S: P(x,S)\}$$
De nuevo, dentro de la teoría de conjuntos no existe tal objeto como "predicado".
Para la mayoría de los sistemas de axiomas humanos, incluso cuando los axiomas son infinitos, tenemos un nivel de verificabilidad. Por lo general, deseamos la capacidad de verificar una prueba utilizando medios mecánicos y, por lo tanto, dado cualquier paso en una prueba, deseamos la capacidad de verificar el paso en una cantidad finita de tiempo.
En concreto, en Peano, la inducción matemática describe realmente un conjunto infinito de axiomas.
Me acuerdo de esta respuesta Creía que había un axioma para cada número, pero no estoy seguro.
¿Existen conjuntos infinitos de axiomas? Sí.
Como ejemplo trivial (y algo sin sentido), consideremos el lenguaje de primer orden cuyos únicos símbolos no lógicos son el símbolo constante $0$ y el símbolo de función unaria $S$ . Entonces lo siguiente comprendería un conjunto infinito de axiomas:
Para un ejemplo más significativo tenemos, como otros han señalado, la Aritmética de Peano. Más que una simple lista infinita de axiomas, esta teoría necesariamente tiene un conjunto infinito de axiomas. Por un resultado de C. Ryll-Nardzewski, (suponiendo que sea consistente) la Aritmética de Peano es no es finitamente axiomatizable : no hay ningún conjunto finito de axiomas (en el mismo lenguaje) que tenga la misma colección de teoremas formales. (Un resultado similar es válido para ZF(C)).
Tal vez sea sorprendente que incluso la axiomatización clásica (de Ukasiewicz) de la lógica proposicional tenga un número infinito de axiomas. Los axiomas son todos instancias de sustitución de
por lo que tenemos un número infinito de axiomas.
Normalmente lo importante no es si el conjunto de axiomas es finito o infinito, sino si es decidible . Sólo podemos verificar pruebas en teorías con conjuntos de axiomas decidibles. Si un conjunto de axiomas es indecidible, no podemos verificar una prueba, porque no podemos saber si una fórmula que aparece en él es un axioma o no. (Si un conjunto de axiomas es sólo semidecidible Podemos verificar las pruebas correctas, pero no podemos refutar las incorrectas).
Por ejemplo, si construyo una teoría con el conjunto de axiomas dado como
$T(\pi)$ es un axioma si $\pi$ es una representación de un programa que termina.
Entonces puedo "probar" que algún programa $p$ es terminar en una prueba de una línea simplemente declarando $T(p)$ . Pero, por supuesto, esa teoría no tiene ninguna utilidad real porque nadie puede verificar tal prueba.
Su conjunto semidecidible de axiomas, sin embargo, demuestra la mismos teoremas como el decidible uno en el que los axiomas son los $$\underbrace{x=x\land \cdots\land x=x}_{n\text{ conjuncts}}\land T(m)$$ donde $m$ es la representación de un programa que termina en $n$ pasos. (Todo conjunto de axiomas semidedificable es equivalente a uno decidible esencialmente de esta manera).
Se puede tener un conjunto de axiomas recursivamente enumerable - sólo requiere que todas las pruebas incluyan la cantidad de tiempo antes de enumerar el axioma. Lo anterior es recursivamente enumerable, por lo que podemos demostrar cosas en él. El sistema de axiomas $S(\pi)$ lo que significa que $\pi$ hace no terminar no es recursivamente enumerable, y por lo tanto no podemos escribir pruebas comprobables en esa teoría.
La axiomitización de Lukasiewicz no utilizaba realmente el esquema axiomático. Tenía 3 axiomas y la regla de sustitución uniforme, que consiste en una regla de inferencia. Así que, en realidad, el sistema al que has hecho referencia sólo tiene 3 axiomas. Sin embargo, incluso con cada axioma como finito, las posibles axiomizaciones de la lógica proposicional clásica son infinitas ya que (p(qp)) puede ser sustituido por cualquier teorema del sistema {(p(qp))} bajo desprendimiento condensado, y ya que {(p(qp))} bajo desprendimiento condensado tiene infinidad de teoremas. Por ejemplo, (p(qp)) podría ser sustituido por (a(b(c(d(p(qp))))).
Un ejemplo de un conjunto infinito de axiomas utilizados en la práctica es el fundamento del análisis no estándar.
Crear un lenguaje de primer orden cuyos símbolos sean:
Ahora seleccione un conjunto de axiomas que sea el conjunto de todos los enunciados verdaderos en este lenguaje.
Este lenguaje y conjunto de axiomas es suficiente para hacer muchas cosas; por ejemplo, cualquier teorema que hayas aprendido en cálculo se puede enunciar en este lenguaje y es automáticamente un teorema.
Por propiedades generales de la lógica de primer orden, este conjunto de axiomas es consistente y, por tanto, ¡existe un modelo no estándar! Por construcción, todos los teoremas que se conocen sobre las cosas "estándar" son automáticamente verdaderos también para las cosas no estándar. En esta formulación, el principio de transferencia del análisis no estándar -cada objeto "estándar" tiene un análogo no estándar, y cada afirmación del análisis "estándar" es verdadera si y sólo si su traducción al modelo no estándar es verdadera- se convierte en una absoluta trivialidad.
Aunque seguramente se puede intentar seleccionar un conjunto más pequeño de axiomas, no hay ninguna razón real para hacerlo; para la aplicación específica que tenemos que hacer de la lógica en este caso, es mucho más fácil y conveniente tomarlos todos.
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Podría ser un puesto útil < math.stackexchange.com/questions/309147/ >
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Debido a la presencia de esquemas de axiomas, $ \sf ZFC $ tiene un número infinito de axiomas. Sin embargo, se puede decir más, a saber, que es no es finitamente axiomatizable . Esto significa que es imposible sustituir los infinitos axiomas de $ \sf ZFC $ por una lista finita.
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@HaskellCurry El cálculo proposicional puede fundarse con axiomas y una regla de sustitución. Sin embargo, incluso en ese sistema siempre podemos obtener más axiomas si tenemos variables contables infinitas.