Deje $k$ ser un campo y $k'$ puramente trascendental extensión de $k$.
Vamos ahora a $A$ integrante finitely generadas $k$-álgebra.
Cómo probar que si $A$ es regular, a continuación, $A \otimes_k k'$ regular?
Gracias!
Respuesta
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Utilizamos un resultado de Grothendieck, que dice:
Si $k'$ $K$ son la extensión de los campos de $k$ tal que cualquiera de las $k'$ o $K$ es finitely generado más de $k$ e si $k'$ es separable sobre$k$, $k'\otimes_kK$ es regular.
y el Teorema de 33.2(i) de Matsumura, CRT, que afirma:
Si $A\to B$ es un fielmente plana y regular de morfismos de Noetherian anillos, a continuación, $A$ es regular iff $B$ es regular.
Ahora note que los morfismos $k\to k'$ es regular (el uso de la Grothendieck del resultado), entonces el cambio de la base a través de lo finito tipo de morfismos $k\to A$ y conseguir que el $A\to k'\otimes_kA$ es regular. Aplicar el teorema de Matsumura y listo.
