El axioma de elección y el producto cartesiano.

Question

Entiendo que el axioma de elección, dados los axiomas de la teoría de conjuntos ZF, es equivalente a la afirmación de que "el producto cartesiano de cualquier familia de conjuntos no vacíos es no vacío". No he podido encontrar esta demostración. ¿Podría alguien esbozarla para mí? ¿O proporcionarme una fuente al menos?

Answer 1

Supongamos que $X=\{X_i\mid i\in I\}$ es una familia de conjuntos no vacíos.

Si existe una función de elección, entonces $\langle f(i)\mid i\in I\rangle$ es un elemento del producto $\prod_{i\in I}X_i$ .

Si $\prod_{i\in I}X_i$ es no vacía entonces hay $f=\langle x_i\mid i\in I\rangle$ en este producto, que es una secuencia de $x_i$ tal que $x_i\in X_i$ . La función $f(i)=x_i$ es una función de elección.

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De hecho, como comenta Nate, lo más habitual es definir el producto $\prod_{i\in I}X_i$ como el conjunto de funciones $f:I\to\bigcup\{X_i\mid i\in I\}$ tal que $f(i)\in X_i$ para todos $i\in I$ .

Se puede observar fácilmente que bajo esta definición el producto es exactamente el conjunto de funciones de elección, por lo tanto el producto es no vacío si y sólo si existe una función de elección.