Hace localmente compacto separables Hausdorff implican $\sigma$-compacto?

Question

Es cierto que cada localmente compacto separable espacio de Hausdorff es $\sigma$-compacto?

Answer 1

No es cierto en general. Deje $\mathscr{A}\,$ ser una innumerable familia de pares casi discontinuo infinitos subconjuntos de a $\omega$ (es decir, diferente de la de los miembros de $\mathscr{A}\,$ han finito intersecciones). Deje $X=\omega\cup\mathscr{A}\,$. Puntos de $\omega$ son aislados, y para cada $A\in\mathscr{A}\,$, $$\Big\{\{A\}\cup (A\setminus F):F\subseteq \omega\text{ is finite}\Big\}$$ is a local base at $A$. ($X$ is an example of a Mrówka $\Psi$-space.) It's easy to see that $X$ is Tikhonov, zero-dimensional, separable, and locally compact, but $$\Big\{\{A\}\cup\omega:A\in\mathscr{A}\,\Big\}$$ is an open cover of $X$ with no countable subcover, so $X$ is not Lindelöf. However, a locally compact space is Lindelöf iff it's $\sigma$-compact, so $X$ cannot be $\sigma$-compact. (Of course it's easy enough to see directly that $X$ is not $\sigma$-compact: if $X=\bigcup_n Y_n$, some $Y_n\cap\mathscr{Un}\,$ must be infinite, and then $Y_n$ no puede ser compacto.)

Answer 2

El siguiente es el contraejemplo de 65 años en Contraejemplos en la Topología, la racional, la topología de la secuencia. Deje $X=\mathbb{R}$, y para cada una de las $r\in\mathbb{R}$, escoja una secuencia $(q_n^r)$ de los racionales convergentes a $r$. Vamos a la base de la topología de ser todos los conjuntos de la forma $\{q_n^r,q_{n+1}^r,\ldots\}\cup\{r\}$ algunos $r$ $n$ y todos los conjuntos de la forma $\{q\}$ $q$ racional. El espacio es divisible, ya que cada básicos de conjunto abierto que contiene un número racional. El espacio es Hausdorff, ya que las secuencias convergentes a los diferentes puntos de tiempo en distintos barrios. El espacio es localmente compacto, ya que $\{q_1^r,q_2^r,\ldots\}\cup\{r\}$ es un compacto barrio de $r$. Pero un conjunto compacto puede contener sólo un número finito de números irracionales, y desde el conjunto de los números irracionales es incontable, el espacio no es $\sigma$-compacto.