Recuperación de módulos libres a partir de su límite proyectivo

Question

Sea $\dotsc A_2 \to A_1 \to A_0$ sea una secuencia de homomorfismos suryectivos de anillos conmutativos. Consideremos el límite proyectivo $\varprojlim_i A_i$ . Si $S$ es un conjunto (infinito), entonces $\varprojlim_i (A_i^{\oplus S})$ es un módulo por encima de este límite. Está formado por las familias $(a_i^s \in A_i)_{s,i}$ con $a_{i+1}^s \mapsto a_i^s$ y para fijo $i$ casi todos $a_i^s=0$ . (Obsérvese que es mayor que $(\varprojlim_i A_i)^{\oplus S}$ !)

Existe un epimorfismo canónico de $A_0$ -módulos $$\alpha : \varprojlim_i (A_i^{\oplus S}) \otimes_{\lim_i A_i} A_0 \to A_0^{\oplus S},~ (a_i^s)_{s,i} \otimes u \mapsto (a_0^s u)_s.$$

Pregunta : ¿Se trata de un isomorfismo? En otras palabras, si $(a_i^s)_{i,s} \in \varprojlim_i (A_i^{\oplus S})$ es tal que $a_0^s=0$ para todos $s$ ¿este elemento está contenido en $\ker(\lim_i A_i \to A_0) \cdot \varprojlim_i (A_i^{\oplus S})$ ?

Observe que $\alpha$ tiene una sección canónica $\beta$ Mapa $(a_s)_s \in A_0^{\oplus S}$ a $\sum_s (\delta_s)_i \otimes a_s$ . Entonces $\alpha \beta = \mathrm{id}$ y la pregunta es si $\beta \alpha = \mathrm{id}$ .

Answer 1

Creo que lo siguiente es un contraejemplo.

Sea $k$ sea un campo, y sea $A_0=k$ , $A_i=k[x_1,\dots,x_i]$ módulo al ideal generado por todos los monomios de grado dos, con el mapa $A_{i+1}\to A_i$ enviando $x_{i+1}$ a cero. Así que $A=\varprojlim(A_i)$ consiste en todas las sumas formales infinitas $\mu+\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\dots$ .

Sea $S=\mathbb{N}$ y para $i\in\mathbb{N}$ deje $a_i=(a^0_i,a^1_i,\dots)$ donde $$a_0=(0,0,0,0\dots),$$ $$a_1=(x_1,0,0,0,\dots),$$ $$a_2=(x_1,x_2,0,0,\dots),$$ $$a_3=(x_1,x_2,x_3,0,\dots),$$ etc.

Entonces $(a^s_i)_{i,s}\in\varprojlim_i\left(A_i^{\oplus S}\right)$ con todos $a^s_0=0$ .

$K=\ker(A \to A_0)$ consiste en todas las sumas formales $\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\dots$ .

Si $(a^s_i)_{i,s}\in K \cdot \varprojlim_i (A_i^{\oplus S})$ o incluso $(a^s_i)_{i,s}\in K \cdot A^S$ entonces existe un $A$ -submódulo de $K$ que contiene todos los $x_i$ .

Pero todo submódulo finitamente generado de $K$ es de dimensión finita.