En la ecuación: no se puede igual a $$\frac{z^2-1}{z-1}$ $z$$ $1$.
Sin embargo $$ \begin{align}
\frac{z^2-1}{z-1}&=\frac{(z-1)(z+1)}{z-1}\\
&=(z+1)
\end{Alinee el} $$ así que tendremos si es igual a $z$ $1$ $$\frac{z^2-1}{z-1}=2$ $
¿Alguien puede explicar eso por favor?
Deje $f(z) = \frac{z^2-1}{z-1}$ $g(z) = z+1$ $f$ es analítica en $\mathbb C \setminus \{1\}$$g$$\mathbb C$.
Un teorema de análisis complejos que dice que si dos funciones coinciden en un conjunto abierto, entonces son iguales en todas partes que están definidos.
Esto implica que no hay una única manera de continuar una función (como $f$) en un dominio más grande si se comparte cierta superposición con otra función (como $g$).
Esto justifica la continua $f$ a una función en el conjunto de la $\mathbb C$ definiendo $f(1) = 2$.
El punto en el $z = 1$ se llama una "singularidad movible", y este proceso de "quita". En general, una función de tener un límite en un punto, pero no se define no se puede extender a una función continua en ese punto en el que sólo de una manera. Que es lo que sucede aquí. $\frac{z^2 - 1}{z - 1}$ es definida y continua en todas partes, excepto $z = 1$, y tiene un límite en $z = 1$. $z + 1$ es definida y continua en todas partes, y es igual a $\frac{z^2 - 1}{z - 1}$ donde ambos se definen. Entonces debe ser que la extensión única.
PD: cabe destacar que, como otros carteles han señalado, esta ecuación no es técnicamente correcta, a partir de una expresión no está definida en el punto y el otro no, pero el procedimiento que utilizó da la única extensión que acabamos de mencionar.
En lugar de hacer una declaración como\begin{align*} \frac{z^2 - 1}{z-1} = z + 1 \end{align*} sin decir qué $z$ es, usted debe hacer una declaración más cuidadosa como esta:
Si $z \in \mathbb{R}$ y $z \neq 1$ y $\frac{z^2 - 1}{z - 1} = z + 1$.
No tendría sentido conectar $z = 1$, porque esa ecuación no es incluso cierto si $z = 1$.
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