Geometría o topología detrás de la "escalera imposible"

Question

Este pregunta sobre la topología de los juegos de Escher me ha recordado una pregunta que tengo en la cabeza desde hace tiempo.

¿Se puede decir algo geométrico o topológico interesante sobre la llamada "escalera imposible"?

Motivación: El otro día, me encontré explicando el concepto de monodromía (que yo mismo reconozco no entender del todo) a un amigo mío lego en la materia. Ella interpretó mi explicación como algo parecido a una escalera imposible, lo cual no estoy seguro de que sea la mejor analogía. Pero, a pesar de todo, me hizo pensar, y tengo curiosidad por ver si hay algo interesante que decir al respecto.

Answer 1

He visto utilizar la escalera imposible para dar una imagen intuitiva de la cohomología. Uno tiene un montón de imágenes locales (los lados individuales de la escalera) y uno quiere unirlos en una imagen global (toda la escalera), pero hay una obstrucción para hacer esto (las alturas implícitas no coinciden), y esta obstrucción es en cierto sentido un elemento distinto de cero de algún grupo de cohomología. De hecho, así es más o menos como cohomología de la gavilla aunque no soy la persona más indicada para explicarlo en profundidad.

De hecho me parece que la escalera imposible representa de alguna manera un elemento no nulo de la primera cohomología del círculo. Pero no estoy seguro de cómo ser más preciso sobre esto.

En realidad, creo que sí lo sé: la escalera imposible se puede utilizar para pensar en la continuación analítica del logaritmo $\log z$ a lo largo del camino $z = e^{i \theta}$ . Tras recorrer este camino desde $0 \le \theta \le 2 \pi$ partimos de una altura de $\log 1 = 0$ y terminan a una altura de $\log 1 = 2 \pi$ . Esto refleja el hecho de que $\frac{dz}{z}$ es distinto de cero en la cohomología de Rham $H^1(\mathbb{C} - \{ 0 \}, \mathbb{R})$ (su antiderivada existe localmente pero no globalmente).

Answer 2

La monodromía no funciona literalmente como una escalera paradójica, sino más bien como una escalera de caracol completamente posible que va infinitamente hacia arriba e infinitamente hacia abajo. Como ilustración, véase este gráfico del logaritmo natural sobre múltiples ramas (cortadas arriba y abajo, por supuesto):

$\hskip 2.3 in$

(Fuente: Wikipedia. Versión más grande .)

La escalera paradójica tiene dos rasgos definitorios matemáticamente relevantes: (1) vuelve sobre sí misma y (2) (al menos aparentemente) aumenta de altura a lo largo del recorrido. En el caso de los números complejos $\mathbb{C}$ es posible que se puedan capturar ambas características si se identifican puntos a cierta altura entre sí, por ejemplo, considerando los dos puntos $z$ y $z+\omega$ iguales entre sí para todos $z\in\mathbb{C}$ y algunos fijos $\omega$ . Si deja que $\omega = 2\pi i$ entonces conviertes el plano complejo en una especie de tubo que se puede representar en la banda horizontal $0 \le \mathrm{Im}(s) < 2\pi$ (envolviendo de arriba a abajo). Entonces la escalera infinita asociada a $ \ln (z)$ (por ejemplo) es en realidad un único conjunto de escaleras que presenta las dos características definitorias de la escalera paradójica.

Answer 3

Parece que la idea de figuras imposibles que representan clases de cohomología no triviales ha sido considerada por Penrose, que da una interesante rigorización de la idea tomando los datos de encolado en los "solapamientos" de las piezas no imposibles como cuánto hay que "acercarse/alejarse" para que las piezas se alineen.

Penrose, Sobre la cohomología de figuras imposibles .

He aquí una versión disponible gratuitamente (con traducción al francés) .

Este artículo fue publicado por un post reciente de MathOverflow que también cita un artículo de Chris Mortensen . Cualquier otra respuesta que se publique allí seguro que será de interés.

Answer 4

David Huffman, aunque se formó como ingeniero, hizo mucho trabajo matemático. Es famoso por los códigos que llevan su nombre (códigos Huffman), que fueron un punto de partida para las matemáticas de la compresión de datos.

http://www.huffmancoding.com/my-family/my-uncle/scientific-american

Sin embargo, también desarrolló un sistema de codificación para tomar dibujos de poliedros y comprobar que eran "legales". La idea era poder hacer que un ordenador "informara" de que algo como la escalera imposible no podía construirse. El libro de Sugihara da cuenta de este trabajo y va más allá:

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.2279&rep=rep1&type=pdf