Cómo probar una extensión de ZFC es conservador

Question

Trabajo en ZFC.

He definido una función como binario predicado $R$ en una clase adecuada. Tiene que ser recursivos, es decir, $R(a,b)$ debe generalmente dependen de uno o más $R(c,d)$ algunos $c$s y $d$s calcula a partir de $a$$b$. Hay, sin embargo, no bien fundada recursiva, la única función que está de acuerdo con $R$ (es decir, no se $F$ tal que $y = F(x)$ fib $R(x,y)$).

Así que me he definido como ZFC define $\in$: he añadido un nuevo predicado binario símbolo $R$ y define los axiomas. Cada axioma se ajusta al esquema de $\forall x_1 . \dots \forall x_n . P_1(x_1) \wedge \dots \wedge P_n(x_n) \rightarrow Q(x_1,\dots,x_n) \rightarrow R(x_1,x_2)$. Creo que los hechos relevantes son: 1) que ningún axioma concluye que existe, solo que $R$ relaciona dos conjuntos; y 2) $Q(x_1,\dots,x_n)$ es una fórmula que por lo general se refiere a $R$.

Me gustaría demostrar que ZFC+R demuestre que no hay más conjuntos existen de ZFC. ¿Cómo puedo hacer esto?

(También, es un "conservador de extensión" el término correcto para esto?)

Answer 1

(Un poco de edición de los comentarios a una respuesta.)

Que la terminología es a la derecha: Una teoría de la $T$ es un conservador de la extensión de una teoría de la $S$ fib el idioma de $T$ extiende el lenguaje de la $S$, cada axioma de $S$ es comprobable en $T$, y cada teorema de $T$ en el idioma de $S$ es también un teorema de $S$.

Si hay un procedimiento que nos permite ampliar cualquier modelo de $(M,\in^M)$ $\mathsf{ZFC}$ a un modelo de $(M,\in^M,R^M)$ si el axioma esquema está satisfecho con $R$ interpretarse como $R^M$, entonces sí, la nueva teoría es conservador sobre$\mathsf{ZFC}$, y no demostrar la existencia de nuevos conjuntos.

El ejemplo típico es el de la nueva axiomas estado que $R$ es un buen orden de todo el universo. En $\mathsf{ZFC}$ no es demostrable que no es una clase de $R$ (recordemos que en $\mathsf{ZFC}$ todas las "clases" debe ser definida a partir de parámetros). Sin embargo, el uso de la clase forzar, se puede añadir a cualquier modelo de $\mathsf{ZFC}$ un predicado $R$ que es un mundial bien el orden, y de una manera que no añade nuevos conjuntos.

(En esencia, la fuerza con segmentos inicial.)

El punto aquí no es que necesitábamos para utilizar la clase forzar, que es sólo el medio para conseguir nuestro objetivo real. El punto es este: Supongamos que la teoría de la $T=\mathsf{ZFC}+$"$R$ es un buen orden" es una frase $\phi$, en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Elija cualquier modelo de $\mathsf{ZFC}$. Podemos extender a un modelo de $T$ en la forma que acabamos de describir. En el modelo ampliado, $\phi$ mantiene. Pero esto significa que $\phi$ sostiene que en el modelo original, ya que la adición de $R$ no agregar cualquier conjuntos. Por el teorema de completitud, $\phi$ es demostrable, porque es cierto que en todos los modelos.

El enfoque general que se insinúa por este ejemplo es bastante maleable. Un ejemplo diferente en el mismo espíritu es el que Gödel-Bernays teoría de conjuntos es conservador sobre $\mathsf{ZF}$. El punto es que, dado un modelo de $\mathsf{ZF}$, se puede extender a un modelo de $\mathsf{GB}$ tomando como adecuada clases de la extensión sólo el definibles clases del modelo original. Pero después, exactamente el mismo argumento como para el otro ejemplo que muestra que tenemos de conservación.

Uno puede ser más liberal y tener más ejemplos si uno no insistir en las restricciones que la definición conservadora de extensión. Por ejemplo, en su lugar, podríamos tener $T$ interpretar $S$. Entre otras cosas (detalles en el enlace), esto significa que a partir de cualquier modelo de $M$ $T$ podemos definir un modelo de $I^M$$S$. Que la interpretación es conservador correspondería a la exigencia de que cada modelo de $S$ $I^M$ algunos $M$.

Por supuesto, si el ejemplo que tienes en mente, de hecho, nos da un conservador extensión depende de los detalles del esquema que tiene en mente.