Podemos decir que el $V \cong V^*$ no es natural?

Question

Podemos decir que un isomorfismo $V \cong V^*$ no es natural? Parece tan intuitivamente, pero formalmente la noción de una transformación natural entre un functor y un cofunctor no está definido (o es?).

Answer 1

Esto es más de un comentario largo en wildildildlife la respuesta. Una pregunta natural después de la lectura de la prueba es: ¿qué sucede si nos restringimos a la groupoid de finito dimensionales espacios vectoriales y sus isomorphisms? (Puede parecer que la recolección de $L=0$ es un poco de "trampa".) El hecho es que todavía no hay una equivalencia entre la identidad y la doble functor. El punto es que la colección de isomorphisms $\{\alpha_V \colon V \to V^\ast \}$ es sólo permitido a depender de $V$, es decir, debe existir una específica de morfismos para cada $V$ que hace cada diagrama se puede cocinar usando su categoría conmutativa.

En particular, se puede ver en los diagramas de la forma

$ \begin{array}{ccc} V & \longrightarrow^{\alpha_V} & V^* \\ \downarrow & & \uparrow \\ V & \longrightarrow^{\alpha_V} & V^*. \end{array}$

Ahora llegamos $\alpha_V = A^\ast \alpha_V A$ todos los $A \in \mathrm{GL}(V)$. Equivalentemente, si utilizamos $\alpha_V$ a identificar dos bases de $V$$V^\ast$, debemos tener $\mathrm{id}_V = A^T A$ todos los $A \in \mathrm{GL}(V)$, lo cual es absurdo.

Este punto de vista también conduce directamente a cuál es la condición que necesitamos para imponer en la categoría de la existencia de una equivalencia como esto: tenemos que buscar una categoría de espacios vectoriales donde los automorfismos $A \colon V \to V$ son matrices ortogonales (wrt una base). La cosa más natural a considerar es entonces finito dimensionales espacios equipados con un producto interior¹ y morfismos la preservación del producto interior. Por lo tanto hemos redescubierto el principio de que se puede identificar un espacio vectorial con su doble, precisamente, cuando se tiene un producto interior.

¹ Comentario: Por un producto interior me refiero realmente a una arbitraria bilineal no degenerada forma, por lo que más del $\mathbf R$ o $\mathbf C$ esto no es de uso estándar. Tenga en cuenta que esta categoría es automáticamente un groupoid, ya que cualquier mapa de espacios vectoriales preservación del producto interior es un isomorfismo.

Answer 2

De hecho, una transformación natural se define por dos paralelas functors, que es, functors con el mismo dominio y codominio. La identidad functor yo y el único de doble functor * no son paralelas:

$I:\sf{Vect_K}\to \sf{Vect_K} $ $*:\sf{Vect_K}^{op}\to \sf{Vect_K} $

En otras palabras: yo es covariante y * es contravariante.

Pero vamos a ignorar. Supongamos que tenemos una colección de lineal isomorphisms $\{a_V:V\to V^*\}_{V\in\sf{Vect_K}}.$

La connaturalidad de la plaza iba a leer

$ \begin{array}{ccccc} & V & \longrightarrow^{a_V} & V^* & \\ L & \downarrow & & \uparrow & L^*\\ & W & \longrightarrow^{a_W} & W^* & \end{array}$

donde L* es el habitual doble (precomposición) lineal mapa definido por

$L^*f := [v\mapsto f(Lv)]=f\circ L,\ \ \ \ \ f\in W^*$

Ahora este diagrama de desplazamientos iff

$\alpha_V = L^*\alpha_W L$

para todos los lineales de los mapas de $L:V\to W$. Pero esto no puede ser desde $\alpha_V$ es un isomorfismo, y L no necesariamente, por ejemplo, L=0.

[PS: he copiado de esta respuesta de mi respuesta en physicsforums ]