los métodos para determinar la convergencia de $\sum\frac{\cos n}{n}$ o $\sum\frac{\sin n}{n}$

Question

Hasta donde yo sé, el libro de texto enfoque para determinar la convergencia de series como $$\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos n}{n}$$ and $$\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin n}{n}$$ los usos de Dirichlet de la prueba, la cual consiste en la delimitación de la sumas parciales del coseno o seno términos. Tengo dos preguntas:

1. Hay otros enfoques para ver de que estas series son convergentes? Estoy principalmente interesado simplemente para ver qué otros tipos de argumentos.
2. ¿Cuál es la mejor manera de mostrar que estas dos series son sólo condicionalmente convergente? Yo no sé ni el libro de texto enfoque que se trate.

Answer 1

Pista 2)

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\cos n|}{n} \geq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos^2 n}{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+\cos {2n}}{2n}$$

La convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos{2n}}{2n}$, y la divergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}$ da la divergencia.

El mismo método se aplica a $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin n|}{n}$.

Answer 2

Gracias por la buena pregunta, a continuación se muestra un dibujo de la parte 1, que puede ser de unos pocos centímetros de una rigurosa prueba.

Consideremos la suma compleja $$ S \equiv \sum_{n = 1}^\infty \frac{ e^{en} }{n}, $$ Lo real y lo imaginario sumas son las deseadas seno y coseno sumas de dinero, como se ha señalado por i707107. Entonces $$ e^{-i S} = \sum_{n = 1}^\infty \frac{ e^{i(n-1)} }{n} = 1 + \sum_{n = 1}^\infty \frac{ e^{n} }{n + 1}, $$ y $$ (1 - e^{-i}) \, S = -1 + \sum_{n = 1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) e^{n} = -1 + \sum_{n = 1}^\infty \frac{e^{n}}{n \, (n + 1)}. $$

Así $$ \begin{align} |(1 - e^{-i}) \, S| &\le 1 + \sum_{n = 1}^\infty \left| \frac{e^{i n}}{n \, (n + 1)} \right| \\ &= 1 + \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n \, (n + 1)} \\ &= 1 + \sum_{n = 1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\right) = 2. \end{align} $$ Esto significa $|S|$ es finito, y por lo tanto son las partes real e imaginaria.