Mostrar $\forall\varepsilon>0\,\lim_{n\to\infty}\frac{\#\{\text{positive divisors of n}\}}{n^\varepsilon}=0$

Question

Demostrar que $\forall\varepsilon>0,$

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\#\{\text{positive divisors of n}\}}{n^\varepsilon}=0$$

Estoy tratando de resolver este problema desde hace mucho tiempo, pero estoy realmente atascado no tengo ni idea de por dónde empezar. He intentado reemplazar $\varepsilon$ por $\frac{1}{k}$ donde $k$ es un número natural, y demuestre que la afirmación es verdadera para todo $k$ por inducción, pero no lo he conseguido y no parece prometedor.

Si me dais algún consejo o comentario, os lo agradecería mucho.

Gracias.

Answer 1

Te voy a dar un argumento de demostración que se me ha ocurrido, aunque no estoy seguro de su formalidad.

El límite que pretendemos demostrar es equivalente a probar que, si nos dan primos $p_i ; i\in [N]$ entonces $$\lim_{\alpha_i \to \infty \text{ for some i}} \frac{\prod_{i \in [N]}(\alpha_i + 1)}{\prod_{i \in [N]}p_i^{\alpha_i e}}= 0$$ donde hemos utilizado que el número de divisores del número $n = \prod_{i \in [N]}{p_i}^{\alpha_i}$ es igual a $\prod_{i \in [N]}(\alpha_i + 1)$ .

Si eres capaz de demostrar la última afirmación formalmente, supongo que no tendrás problemas para terminar esta demostración.

Answer 2

La solución de este problema se desprende del siguiente hecho.

\begin {Edición} e^{O( \frac {log(n)}{loglog(n)})}=d(n) \end {Ecuación}

Así que,

\begin {Ecuación} \lim_ {n-> \infty } \frac {d(n)}{n^ \epsilon }= \frac {e^{ \frac {Clog(n)}{log(n)}}{n^ \epsilon } \end {Ecuación} Para alguna constante C.

Por lo tanto, \begin {Ecuación} \lim_ {n-> \infty } \frac {e^{ \frac {Clog(n)}{log(n)}}{n^ \epsilon }= \lim_ {n-> \infty } \frac {n^ \frac {C}{loglog(n)}}{n^ \epsilon }= \lim_ {n-> \infty }n^{ \frac {C}{loglog(n)}- \epsilon } \end {Ecuación}

Se puede añadir una bonita prueba respecto a épsilon y deltas para demostrar desde aquí que

\begin {Ecuación} \lim_ {n-> \infty } \frac {C}{loglog(n)}- \epsilon =- \epsilon\\and\\ \lim_ {n-> \infty }n^{- \epsilon }=0 \\ implica \\ \lim_ {n-> \infty }n^{ \frac {C}{loglog(n)}- \epsilon }=0 \end {Ecuación}

Esto completa nuestra prueba. En muchos sitios web está escrito el primer punto y creo que puedes encontrar más información al respecto en otros puestos de intercambio de pilas.