Puede el Área de la Superficie de una Esfera se encuentran sin el uso de la Integración?

Question

Cuando estábamos en la escuela nos dijeron que el Área Superficial de una esfera = $4\pi r^2$

Ahora, cuando trato de derivar utilizando sólo de alto nivel de la escuela de matemáticas, yo soy incapaz de hacerlo. Por favor, ayudar.

Answer 1

Imagina por un cilindro vertical que encierra la esfera, con la altura de la $2r$, radio $r$, y los extremos abiertos. Este cilindro tiene el área de superficie $4\pi r^2$. El truco es mostrar que si cortar el cilindro y la esfera en infinitesimalmente delgada anillos horizontales, a continuación, a una determinada altura, el área de la superficie de la forma esférica del anillo es igual a la superficie del anillo cilíndrico. Así, la superficie total de las áreas son iguales.

Supongamos que el anillo cilíndrico tiene la altura de la $\delta h$, y por lo tanto el área de $2\pi r \times \delta h$. Si el anillo está a una altura $r\sin\theta$ por encima del ecuador de la esfera, con $-\pi < \theta < \pi$, entonces el esférico anillo tiene radio de $r\cos\theta$, pero su superficie está en un ángulo $\theta$ respecto a la vertical. Por lo que su área es $2\pi r \cos \theta \times \delta h/\cos \theta$, que es el mismo que el anillo cilíndrico.

Esto realmente las necesidades de algunas fotos, pero no tengo la habilidad en esa dirección.

Answer 2

En F. G. M., Cours de Géométrie Élémentairede 1917, el área de la superficie de una esfera es demostrado en una secuencia de teoremas.

En resumen como sigue.

I. El área de la superficie lateral de un regular piramidal truncado con dos paralelos las bases de los perímetros $p=ns$ $p^{\prime }=ns^{\prime }$ $n$ trapezoidal caras laterales con apotema $a$ es

$$S_{P}=n\frac{s+s^{\prime }}{2}a=\frac{p+p^{\prime }}{2}a,$$

donde $s$ $s^{\prime }$ son las longitudes de los lados de las bases polígonos regulares.

II. El área de la superficie lateral de un cono truncado es

$$S_{C}=\lim_{n\rightarrow \infty }S_{P}=2\pi R^{\prime \prime }l=2\pi zh,$$

donde$z=\overline{EG}$,$EG\perp AB$.

III. La superficie generada por una poligonal regular que gira alrededor de un diámetro que no la cruz tiene un área dada por

$$S_{m}=2\pi a^{\prime }h,$$

donde $a^{\prime }$ es la apotema.

IV. El área de la superficie lateral de la porción de una esfera limitada por dos planos es

$$S_{F}=\lim_{m\rightarrow \infty }S_{m}=2\pi Rh.$$

V. el área de La superficie de una esfera es

$$S=2\pi Rh=2\pi R\times 2R=4\pi R^{2}.$$

Answer 3

¿Qué se entiende por integración? Si uno encuentra un método en la geometría Euclidiana, para mostrar que el volumen de $V$ de una esfera de radio $r$$\frac43 \pi r^3$, ¿considera que la "integración"?

Supongamos que usted sabe que la fórmula para el volumen de una esfera. Si el radio aumenta a partir de la $r$ $r+dr$donde $dr$ es un infinitamente pequeño incremento, luego de la correspondiente infinitamente pequeño cambio en el volumen de $dV$$\frac43\pi(r+dr)^3 - \frac43\pi r^3$. Pero $$\frac{\frac43\pi(r+dr)^3 - \frac43\pi r^3}{dr} = \frac{dV}{dr} = 4\pi r^2.$$ Si se multiplica el área de superficie de la $A$ de la esfera por el infinitamente pequeño espesor $dr$ de la atmósfera circundante, consigue $A\;dr$, pero también te $dV$.

Por lo tanto $A$ debe $4\pi r^2$.

Answer 4

El volumen de una rotación del gráfico de una función $f$ $x$- eje segmento de $[a,b]$$V=\pi \int_a^b f^2(x)dx$.

Se podría describir la unidad de la esfera como el girado gráfico de $f(x)=\sqrt{1-x^2}$$[-1,1]$. A continuación, el volumen de la esfera es $V=4\pi /3$. Por una escala argumento, la fórmula general se pueden derivar.

Para el área de la esfera, mi maestro de la escuela primaria, dijo que se podría pensar de una pirámide con la base de la superficie de la esfera. Luego de aplicar la fórmula de volumen: $Volume=(Base Area)\times Height / 3$ se sigue que

$$4\pi R^3/3=A\times R/3$$ Then $A= 4\pi R^2$. La última parte no es riguroso, pero funciona. :)