Me gustaría preguntar si la gente me puede indicar buenos libros o apuntes para aprender algo de geometría diferencial básica. Trabajo en teoría de la representación sobre todo y he descubierto que a veces mi formación es insuficiente.
Respuestas
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mreggen
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ACTUALIZACIÓN:
Estoy impartiendo un curso de geometría diferencial de posgrado centrado en la geometría riemanniana y he estado estudiando con más detenimiento varios libros de texto, como los de Lee, Tu, Petersen, Gallot et al, Cheeger-Ebin. También quería centrarme en la geometría diferencial geometría y no la topología diferencial. En particular, quería hacer teoremas geométricos riemannianos globales, hasta al menos el teorema de división de Cheeger-Gromoll. Hasta ahora, me gusta más el libro de Petersen.
Además, resulta que Cheeger está impartiendo un curso de temas sobre la curvatura de Ricci. Se basa en los apuntes que ha escrito, que puedo recomendar, al menos para tener una buena visión general del tema. En ellos se sientan las bases de su reciente trabajo sobre la curvatura de Ricci. Uno de ellos, Degeneración de métricas riemannianas bajo límites de curvatura de Ricci está disponible en Amazon.
ANTIGUO POST:
En primer lugar, sigue el consejo que un antiguo profesor de matemáticas de Harvard solía dar a sus alumnos. Señalaba un libro o un documento y decía: "¡Deberías saber todo lo que hay aquí, pero no lo leas!". Mi interpretación de esto es que hay que mirar primero sólo los enunciados de las definiciones y teoremas e intentar resolver las pruebas por uno mismo. Echa un vistazo al libro sólo cuando sea necesario.
En segundo lugar, sigue el consejo de otro antiguo profesor de Harvard y desarrolla tu propia notación. ¿Por qué? Porque parece que cada geómetra diferencial y, por lo tanto, cada libro de geometría diferencial utiliza su propia notación, diferente de la de los demás. Así que te volverás loco, a menos que tengas tu propia notación y traduzcas lo que estés leyendo a tu propia notación. Por supuesto, esto es algo natural, mientras intentas elaborar tu propia demostración de todos modos.
Spivack es para mí demasiado verboso y hace que las cosas fáciles parezcan demasiado complicadas y difíciles.
Me encantan Guillemin y Pollack, pero no es más que una reescritura para estudiantes de grado de "Topología desde un punto de vista diferencial" de Milnor. Y realmente se trata de topología diferencial (que es el título después de todo) y no la geometría diferencial.
Para un realmente exposición rápida de la geometría riemanniana, hay un capítulo en la "Teoría de Morse" de Milnor que es un clásico. El resto del libro es genial, por supuesto.
Otro clásico que se relaciona bien con los grupos de Lie es "Comparison Theorems in Riemannian Geometry" de Cheeger y Ebin.
Estoy recomendando sólo los libros más antiguos, porque no me he puesto al día con todos los libros más nuevos que hay. Uno que también me gusta mucho es "Riemannian Geometry" de Gallot, Hulin, Lafontaine.
Y, en su día, muchos de nosotros también aprendimos mucho leyendo los apuntes de Thurston sobre los 3-manifolds.
Para un libro más orientado al análisis, consulte "Some Nonlinear Problems in Riemannian Geometry" de Aubin. Tiene un libro sobre geometría riemanniana, pero no lo conozco muy bien.
Un consejo: Evita utilizar las coordenadas locales y especialmente esos malditos símbolos de Christoffel. No tienen ningún significado geométrico y sólo estorban. Es posible hacer casi todo sin ellos. Los libros que he recomendado, excepto posiblemente el de Aubin, apuntan a esto.
HectorMac
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3961
Yo empezaría con Lee's Introducción a los colectores suaves . Cubre los fundamentos de una manera moderna, clara y rigurosa. Los temas tratados incluyen los fundamentos de las variedades suaves, los haces vectoriales suaves haces vectoriales suaves, submersiones, inmersiones, incrustaciones, teorema de incrustación de Whitney, formas diferenciales, cohomología de De Rham, etc. de Whitney, formas diferenciales, cohomología de Rham, derivadas de Lie derivadas de Lie, integración en variedades, grupos de Lie y álgebras de Lie.
Después de terminar con Lee, pasaría a Hirsch's Diferencial Topología . Esto es más avanzado que Lee y se inclina más hacia la topología. Además, las pruebas son mucho más breves que las de que las de Lee y Hirsch contiene muchos más errores tipográficos que Lee. Los temas tratados incluyen los fundamentos de las variedades suaves, espacios de funciones (impar pero bienvenido para libros de esta clase), transversalidad, haces vectoriales, vecindades tubulares, collares, grado de los mapas, números de intersección, teoría de Morse, cobordismos, isotopías y clasificación de superficies bidimensionales.
Estos dos deberían servirte para lo más básico. Sin embargo, si eso no es suficiente, yo pasaría al libro de Kosinski Colectores diferenciales que cubre los fundamentos de las variedades suaves, las inmersiones, las incrustaciones, haces normales, vecindades tubulares, transversalidad, foliaciones, teorema de la presentación de asas, teorema del h-cobordismo, los manifiestos enmarcados y la cirugía en los manifiestos.
Zack Peterson
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¿Qué tan básico es "básico"?
Para el material "básico" me gusta mucho el libro "Introduction to Smooth Manifolds" de John Lee. Es muy amigable y muy accesible y explica muy bien las ideas. El libro de Spivak "Comprehensive Introduction to Differential Geometry" también es muy bueno, especialmente la nueva versión con una tipografía no tan fea. El libro de Warner "Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups" es un poco más avanzado y es bastante denso en comparación con Lee y Spivak, pero también merece la pena echarle un vistazo, después de que te sientas más cómodo con el material básico.
Akira
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1061
Para una introducción básica a la geometría diferencial, recomiendo encarecidamente el libro de Manfredo Do Carmo Geometría diferencial de curvas y superficies . Bien hecho y muy accesible, y estarías bien preparado para abordar los libros de Spivak a continuación.
Lehane
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6776
Me gustaría sugerir el conjunto de tres volúmenes de Dubrovin, Fomenko, Novikov (Modern Geometry--Methods and Applications) como referencia complementaria. Tienen un estilo y un enfoque del tema algo únicos. El primer volumen comienza con las superficies, el segundo volumen pasa a los colectores. A lo largo de la obra se dan ejemplos de la física, que algunos pueden encontrar interesantes y útiles.
También me gusta el estilo parlanchín e informal de M. Berger. No rehúye dar descripciones informales de ideas y motivaciones detrás de las definiciones. Quizá la mayoría de los libros lo intentan, pero Berger es especialmente generoso con ello, y lo hace bien, en mi opinión. Tengo en mente su libro A Panoramic View of Riemannian Geometry (Una visión panorámica de la geometría de Riemann); puede que no sea el mejor lugar para aprender sobre geometría diferencial por primera vez, pero creo que algunas de sus ideas/comentarios serían útiles incluso para los principiantes (ver, por ejemplo, las páginas 143-151). Creo que tiene otros libros más elementales sobre geometría, pero ahora mismo no tengo las referencias.
