Qué $\sum\limits_{k=1}^n 1 / k ^ 2$ convergen al $n\rightarrow\infty$?

Question

Puedo probar esta suma tiene una constante límite superior como esto:

$$\sum_{k=1}^n \frac1{k ^ 2} \lt 1 + \sum_{k=2}^n \frac 1 {k (k - 1)} = 2 - \frac 1 n \lt 2$$

Y equipo de cálculo muestra que la suma parece converger a 1.6449. Pero todavía quiero saber:

• La dosis de esta suma convergen?
• Hay un nombre de esta suma (o la serie de $1 / k ^2 $)?

Answer 1

Una secuencia que es creciente y acotada deben converger. Esa es una de las propiedades fundamentales de la recta real. Así que una vez que usted ha observado que la secuencia de sumas parciales es acotado, ya que obviamente aumenta, deben converger. Por supuesto que es una serie muy conocida, y converge a un número bastante que milagrosamente tiene una "forma cerrada" fórmula: es $\pi^2/6$.

EDIT: para muchas pruebas de esta famosa fórmula, ver este MO pregunta.

Answer 2

Sí, hace converger, y lo creas o no, $$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$$ Determinar el valor específico de esta infinita suma fue originalmente conocido como el problema de Basilea, y Euler fue la primera persona para determinar el valor correcto de la suma, a pesar de su inicial métodos no eran 100% estricta (pero que puede ser hecho para ser riguroso, y zyx señala a continuación que el de Euler, más tarde dio pruebas válidas).

En general, la suma infinita $$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^s}$$ es extremadamente importante en la teoría de números, tanto así que le damos un nombre, el de Riemann zeta función, $\zeta(s)$. Es decir, $$\zeta(s)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^s}.$$ Así, vemos que $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$. Listas de Wikipedia algunos otros conocidos los valores de la función zeta. A priori, la función de $\zeta(s)$ está definida para cualquier número real $s>1$ (es decir, la suma de $\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^s}$ convergerán para cualquier $s>1$); pero, en realidad, hay una bien definida la idea de aumentar los números enteros números complejos, y entonces tenemos que $\zeta(s)$ está bien definido para cada $s\in\mathbb{C}$ que $\text{Re}(s)>1$. El uso de algo llamado continuación analítica, podemos entonces definir $\zeta(s)$ por cada número complejo (aparte de $s=1$).