Otra integral polilógica

Question

En el interés de la limpieza, recientemente eché un vistazo a lo que las integrales de polilogaritmo son todavía en la lista de preguntas sin respuesta. Algunas de esas preguntas probablemente han languidecido allí porque los métodos de solución son presumiblemente demasiado tediosos y demasiado similares a las preguntas respondidas anteriormente como para que valga la pena llevar a cabo una solución.

Algunas de las integrales con productos de cuatro o más logaritmos en el numerador dieron más problemas de los que esperaba. Después de jugar con sustituciones/integración por partes/etcétera, parece que cada una de las integrales no resueltas que he mirado puede reducirse a la siguiente integral:

Para $\left|z\right|\le1$ , defina $\mathcal{I}{\left(z\right)}$ mediante la representación integral $$\mathcal{I}{\left(z\right)}:=-\frac16\int_{0}^{z}\frac{\ln^{3}{\left(1-x\right)}\ln{\left(1+x\right)}}{x}\,\mathrm{d}x.\tag{1}$$

Pregunta: Puede integral $(1)$ ¿se puede evaluar en términos de polilogaritmos?

---

Notas: Mi mejor idea para empezar era reducir de alguna manera la integral a una con un solo logaritmo de cuarta potencia en el numerador para que las sustituciones posteriores fueran menos complicadas. Conseguí reducir $\mathcal{I}{\left(z\right)}$ a la siguiente integral:

$$J_{1}{\left(z\right)}=\int_{0}^{z}\frac{\ln^{4}{\left(\frac{1-y}{\left(1+y\right)^2}\right)}}{y}\,\mathrm{d}y.\tag{2}$$

Sin embargo, todo lo que he intentado después no parece ir a ninguna parte. ¿Puede alguien ayudarme?

Gracias.

Answer 1

Cada logaritmo del integrando se puede escribir como una integral de una función racional. Si se expande todo $\mathcal{I}(z)$ es una integral quíntuple anidada de funciones racionales. Es un teorema de Kummer que las integrales triples anidadas de funciones racionales pueden expresarse en términos de los logaritmos, dilogos y trilogos. Para cuatro o más integrales anidadas, en general se necesitarán los polilogos múltiples $$ \mathrm{Li}_{s_1,\ldots,s_k}(z_1,\ldots,z_k):=\sum_{n_1>\ldots>n_k\geq 1}\frac{z_1^{n_1}\ldots z_k^{n_k}}{n_1^{s_1}\ldots n_k^{s_k}}, $$ donde $s_1,\ldots,s_k$ son enteros positivos. Para $k=1$ este es el polígono ordinario. Un $N$ -La integral anidada de funciones racionales puede expresarse en términos de polilogos con $s_1+\ldots+s_k\leq N$ .

Erik Panzer ha escrito un buen paquete de Maple "HyperInt" que puede realizar este tipo de cálculos (puede encontrar el paquete en su página web ). Para su integral, HyperInt produce $$ \mathcal{I}(z)=\mathrm{Li}_{1,1,1,1,1}\left({\frac {-1+z}{z}},1,1,{\frac {1+z}{-1+z}},{\frac {z}{1+z}}\right)+\mathrm{Li}_{1,1,1,1,1}\left({\frac {-1+z}{z}},1,{\frac {1+z}{-1+z}},{\frac {-1+z}{1+z}},{\frac {z}{-1+z}}\right)\\ +\mathrm{Li}_{1,1,1,1,1}\left({\frac {-1+z}{z}},{\frac {1+z}{-1+z}},{\frac {-1+z}{1+z}},1,{\frac {z}{-1+z}}\right)+\mathrm{Li}_{1,1,1,1,1}\left({\frac {1+z}{z}},{\frac {-1+z}{1+z}},1,1,{\frac {z}{-1+z}}\right). $$

Esto sigue dejando la pregunta: ¿puede $\mathcal{I}(z)$ se exprese en términos de polilogos ordinarios? No lo sé.