Algunos irreductible carácter que separa a los elementos en diferentes clases conjugacy

Question

Deje $x$ $y$ ser elementos que no están conjugadas en $G$. A continuación, hay algunos irreductible carácter $\chi$ tal que $\chi(x) \not = \chi(y)$.

Claramente, la "irreductible" parte no es importante, ya que cualquier personaje puede ser escrito como la suma de irreductible de los personajes, pero estoy teniendo problemas para ir más allá de eso. Te agradecería un buen indicio más de una respuesta completa, y yo estaría más interesado en un camino para la construcción de un grupo de representación $\varphi:G \to GL(V)$ $G$ tal que el carácter de la representación que toma diferentes valores en $x$$y$.

Answer 1

$\def\ZZ\mathbb{Z}$Directa de la construcción: que la orden de $x$$n$. Para $a \in \ZZ/n$, vamos $$f(a) = \# \{ h : hxh^{-1} = x^a \} \quad \mbox{and} \quad g(a) = \# \{ h : h y h^{-1} = x^a \}.$$ Por hipótesis, $f(1) \geq 1$$g(1)=0$, lo $f$ $g$ no son iguales. Considerar el grado $n-1$ polinomio $\sum_{a=0}^{n-1} (f(a)-g(a)) x^a$. Ya que tiene un grado $n-1$, y no es el polinomio cero, hay algunos $n$-ésima raíz de la unidad $\zeta$ tal que $\sum_{a=0}^{n-1} (f(a)-g(a)) \zeta^a \neq 0$.

Deje $W$ ser unidimensional de la representación de $\langle x \rangle$ donde $x$ hechos por $\zeta$. Deje $V = \mathrm{Ind}_{\langle x \rangle}^G W$. Entonces $$\chi_V(x) = \frac{|G|}{n} \sum_{a =0}^{n-1} f(a) \zeta^a \quad \mbox{and} \quad \chi_V(y) = \frac{|G|}{n} \sum_{a=0}^{n-1} g(a) \zeta^a.$$ Por lo $\chi_V(x) \neq \chi_V(y)$.

Answer 2

Yo creo que no se puede "construir" una canónicamente, pero piensen en esto ; la función del indicador de $f : G \to \mathbb C$ definido por $f(g) = 1$ si $g \in \mathcal K$ $0$ si no, donde $\mathcal K$ es alguna clase conjugacy de $G$, es una función de clase. Usted tiene un teorema que dice que el irreductible personajes forman una base del espacio vectorial de todas las funciones de clase sobre $\mathbb C$. Por lo tanto, si cada irreductible carácter sería igual para$x \in \mathcal K$$y \notin \mathcal K$, la función de $f$, que se escribe como una combinación lineal de los personajes, tendría necesariamente $f(x) = f(y)$ desde que esta relación se mantenga por cada irreductible carácter.

Sé el teorema he citado tiene más de $\mathbb C$ pero no estoy seguro de para otros campos, así que puedo decir que mi argumento de las obras más arbitrario de los campos si el teorema también tiene allí, pero por lo demás no sé.

Espero que ayude,