Esta pregunta viene de mi álgebra de papel:
$(p \rightarrow q)$ es lógicamente equivalente a ... (cuatro opciones).
El módulo de los estados que la opción correcta es $(\sim p \lor q)$. Que es:
$$(p\rightarrow q) \iff (\sim p \lor q )$$
pero yo no podía entender este problema o de la solución. Podría alguien ayudarme?
Como se sugirió en un comentario anterior, el dibujo de una verdad-mesa, sobre todo cuando hay sólo dos o tres variables (es decir atómica frases) que realmente puede ayudar a ilustrar exactamente cuando dos expresiones son equivalentes.
En este caso, podemos ver que $(\sim p \lor q)$ es cierto exactamente al $(p\rightarrow q)$ es verdadero y que es falso exactamente al $(p\rightarrow q)$ es falso. Es decir, $(p\rightarrow q) \equiv (\sim p \lor q)$. Alternativamente, se puede reconocer la equivalencia de las dos expresiones simplemente comparando la columna de la verdad-los valores correspondientes a cada expresión y ver que las dos columnas son idénticas, y por lo tanto, las expresiones son lógicamente equivalentes.
Lógica de Equivalencia : (p → q) $\equiv$ (p ∨ q) $\;\;$ tenga en cuenta que $"\equiv"$ es equivalente a $"\iff"$
Otra forma de utilizar la verdad-de la tabla anterior se puede ver que la implicación $(p \rightarrow q)$ es falso si y sólo si el valor de verdad de $p$ es verdadero y el valor de $q$ es falso. Simbólicamente, podemos expresar que el hecho de que la afirmación de que para la implicación para ser verdad, entonces no puede ser el caso) que $(p \land \sim q)$; en otras palabras, $\sim (p \land \sim q)$. Esto transmite exactamente la misma información que el material implicación $(p \rightarrow q)$. Tenga en cuenta que $\sim (p \land \sim q) \equiv (\sim p \lor q)$, por De Morgan.
Como para comprender que cuando los $(p \rightarrow q)$, entonces si $p$ es cierto, debemos tener ese $q$ es cierto: tal vez la analogía siguiente será de ayuda.
En muchos aspectos, la inclusión adecuada (adecuada "es un subconjunto de") la relación corresponde a material de implicación, donde $\subset$ corresponde a la $\rightarrow$ relación. Por ejemplo, supongamos $A \subset B$. Entonces, si es cierto que $x \in A$, entonces debe ser verdad que $x \in B$, ya que el $B$ contiene $A$. Sin embargo, si $x \notin A$, lo que no significa que $x \notin B$, ya que si $A \subset B$, $B$ contiene elementos que $A$ no contiene.
Como Peter Suber (Departamento de Filosofía, Earlham College) señala en su sitio web titulado "las Paradojas de la Implicación Material", material de implicación es el precio de la verdad-la funcionalidad. Aquí está el enlace:
http://www.earlham.edu/~peters/courses/log/mat-imp.htm
Estas son las paradojas en el sentido antiguo, las violaciones de la intuición. No son contradicciones. Pero, usted puede preguntar, ¿por qué hemos de adoptar un tipo de implicación con tal contra-intuitiva de los resultados? ... Principalmente, la respuesta es que queremos una verdad-funcional tipo de implicación. Recuerde que un conectivo es la verdad-funcional, si podemos calcular el valor de verdad de la declaración única y exclusivamente sobre la base de la verdad-los valores de sus componentes. Si utilizamos una verdad-la forma funcional de implicaciones, entonces podemos construir la verdad-tablas para nuestra implicación declaraciones
Edit: se me olvidó señalar que el material de implicación no es desconocido en el lenguaje ordinario. Cuando tenía 6 años de edad, tratando de atrapar a una de las aves que se encienda en nuestro patio, mi abuelo me dio un poco de esta bromeando consejo: "Si quieres coger un gorrión, todo lo que tienes que hacer es poner sal en la cola." :-)
Además edit: no Obstante, hay una tendencia a evitar la implicación material. Un buen ejemplo es el artículo de la Wikipedia en valor absoluto, en la línea de:
Si b > 0, otras dos propiedades útiles relativos a las desigualdades son:
(Necesitamos para divagar un momento para señalar que esta línea debe ser editado para decir que b es no negativo. Es decir, el caso en que b = 0, aunque trivial, es todavía pertinente. En nuestra discusión a continuación, vamos a suponer que tal una edición que se ha hecho.)
Por el material de implicación, es irrelevante si b es no negativo, pero, sin duda, la relevancia desaparece si b < 0. Tal vez la barbilla-strokers en Wikipedia sienten que están haciendo que sea más fácil de entender para el profano mediante el filtrado de la "irrelevancia", pero a un alto precio que se paga por ella, es decir, la interrupción de la agradable gráfico que estaban creando. Si usted puede simplemente dejar que el material implicación hacer su trabajo, entonces usted puede continuar con el gráfico en un ininterrumpido.
Además edit: Otro ejemplo de la evitación de material implicación en la definición de un "punto crítico" de una función, es decir, la práctica habitual de decir que un punto c es un punto crítico de una función f si, y sólo si, c es en el dominio de f, y f'(c) = 0 o f'(c) no existe. Un niftier forma de decirlo es que c está en el dominio de f, y f es diferenciable en c implica que f'(c) = 0. Período. Fin de la historia. Cualquier persona que se pregunta "¿y si f no es diferenciable en c? C es un punto crítico o no en ese caso?" etiquetas de sí mismo como matemáticamente, o al menos lógicamente, analfabetos. (Espero no llegar etiquetado como literariamente analfabetos para el uso de "uno mismo"! - ver la discusión en Wikcionario.) Por supuesto, si el estudiante se pregunta, entonces, el maestro debe responder, y la respuesta es: "Sí, por el material implicación. Es decir, si f no es diferenciable en c, entonces, por el material implicación, la implicación si es verdad, y por lo tanto, c es un punto crítico de f en ese caso". La formulación utilizando material implicación es niftier no sólo por ser más conciso, pero también para evitar la referencia explícita a algo inexistente. El conocimiento y la aceptación del material implicación debe ser establecido y asumido en una etapa temprana de la formación en matemáticas. Observe que, a diferencia del ejemplo en la Wikipedia sobre valor absoluto, material implicación en este caso las direcciones de una condición que es relevante.
Me atrevería a decir que este ejemplo de la cuchara de alimentación de filtrado de la irrelevancia es bastante amplia, y puede incluso ser parte contributiva a la dificultad en la apreciación de material de implicación cuando esos momentos llegan cuando no se pueda evitar. Es decir, si el no solicitadas de filtrado no se hace de rutina, entonces la gente sería utilizado para el material de implicación ya, tal y como son utilizados para complicado modismos en el lenguaje ordinario, el complejo juego de palabras, chistes, y así sucesivamente. En otras palabras, es la huelga, la FALTA de familiaridad con el material de implicación que parte de la culpa aquí.
Además de editar: Material de implicación a menudo implica el conjunto null. Por ejemplo, la intersección de la nula conjunto es, por el material implicación, el conjunto universal. Dejar implicación material de trabajo para que de esta manera significa que usted no tiene que considerar por separado el nulo caso. Incluyendo el nulo caso, por el material implicación, en el conjunto de todos los casos permite a la unidad de tratamiento, y el reconocimiento de lo contrario patrones ocultos. Por ejemplo, un selfie es, básicamente, un photobomb en los que la víctima es inexistente (es decir, null). (Un photobomb podría ser accidental, o involucrar a algo distinto de la imagen del autor, y por lo que la definición precisa de un selfie sería "una intencional victimless photobomb con la imagen del autor").
Además de editar: Es porque de material implicación de que un minuto de silencio (como en el comienzo de un día de escuela) no está en violación de la "inglés solamente" regla de que puede ser, en efecto.
Además de editar: Un ejemplo clásico de material implicación es conocido desde la antigüedad, es decir, Arquímedes se jactan de la palanca: "dame un lugar para estar de pie, y moveré la Tierra". - que es un enfático manera de decir, "Si yo tenía un lugar para estar de pie, me podría mover la Tierra."
Además de editar: Material implicación también es utilizado por la religión a plantear el tema de la trascendencia, trascendencia, siendo la razón de ser de la religión. Por esta razón, las falsas afirmaciones de la religión no son un defecto de la religión, sino una parte esencial de su dinámica. Por ejemplo, no es verdad que si una infinita cantidad de tiempo que ha pasado, luego 2 más 2 es igual a 5? Por el material de implicación, es cierto. La afirmación de que 2 más 2 es 5 no es realmente de interés. Es como la uña en la historia acerca de uñas de la sopa. Lo que interesa es que el tema de "una cantidad infinita de tiempo" - en otras palabras, la trascendencia, que se ha planteado.
editar más: Un buen ("clásico"?) ejemplo de material de implicación en el trabajo es el hecho de que la simetría junto con la transitividad no implica la reflexividad. Esta situación se aborda en detalle en la página 30 del libro de fundamentos DE ÁLGEBRA ABSTRACTA por Bundrick y Leeson (1972), y está catalogada como una de las respuestas aquí, en el MSE, a la pregunta acerca de "obvio" teoremas que en realidad son falsos, en la siguiente ubicación:
La comprensión de que $p \implies q$ es equivalente a $\sim p \vee q$ es generalmente muy difícil para la mayoría de la gente el primer aprendizaje. Yo lo aprendí en una filosofía de la clase, de todas las cosas.
La idea básica es esta: $p$ $q$ son "declaraciones" que son Verdaderas o Falsas. A continuación, $p \implies q$ es también una declaración. Que la primera parte de lo confuso, de que estamos hablando de una "declaración acerca de las declaraciones."
Ejemplo: "Si usted es dueño de un perro, entonces usted es dueño de un animal." Aquí "usted es dueño de un perro" es una afirmación que es verdadera o falsa, "usted es dueño de un animal" es verdadero o falso, y el conjunto de la frase "si usted es dueño de un perro, entonces usted es dueño de un animal" es verdadero o falso.
Ahora la mayoría de la gente estaría de acuerdo en que la última declaración, "si usted es dueño de un perro, entonces usted es dueño de un animal" es Cierto , ya que un perro es generalmente considerado como un animal. ¿Qué significa para esta norma para ser Cierto? Bien, esto significa que si una persona es propietaria de un perro, entonces él/ella es propietaria de un animal. Pero no dicen nada acerca de las personas que no son propietarios de un perro. Por ejemplo, alguien que es dueño de un gato es dueño de un animal, pero nuestra afirmación tiene nada que decir acerca de los dueños de gatos. De hecho, este punto es lo que hace que una gran cantidad de problemas para los novatos en mi experiencia.
Así que todo esto es mi largo aliento manera de decir, que el enunciado "si usted es dueño de un perro, entonces usted es dueño de un animal" sigue siendo cierto incluso para las personas que no son propietarios de perros.
Así que ahora vamos a escribir $p \implies q$ como una tabla de verdad con lo que hemos aprendido anteriormente.
P --> T F
Q -v \begin{align*}
\int_{-1/2}^{1/2}|f(x)|\log^{+}|f(x)|dx&=\int_{-c}^{c}\dfrac{1}{|x|(-\log|x|)}dx=\infty
\end------
T | T T
F | F T
En otras palabras, nuestra declaración "si usted es dueño de un perro, entonces usted es dueño de un animal" es cierto, a condición de que ser dueño de un perro significa que usted es dueño de un animal. El enunciado es siempre cierto si usted no es dueño de un perro. Y la única manera para que la expresión sea falsa es un perro y, sin embargo, de alguna manera, no propio de un animal. En otras palabras, el principal empuje de una implicación como $p \implies q$ es la afirmación de que si $p$ es cierto, que es absolutamente necesario tener $q$ cierto.
Ahora, lo que es otra manera de obtener esta misma tabla de verdad? $\sim p \vee q$ le da la misma tabla, por lo $p \implies q$ es equivalente a $\sim p \vee q$.
$p \to q$ sólo es lógicamente falsa si $p$ es verdadera y $q$ es falso. Así que si no$p$ o $q$ (o ambos) son verdaderas, usted no tiene que preocuparse acerca de $p \to q$ ser falso. Por otro lado, si ambos son falsos, entonces que es lo mismo que decir $p$ es verdadera y $q$ es falso (De Morgan de la Ley), por lo $p \to q$ es falso. Por lo tanto, los dos son lógicamente equivalentes.
Para entender, considerar esta pregunta: ¿Cómo debe el mundo se ha diseñado para hacer esta declaración ( $p \implies q$ ) cierto?
Hay dos opciones:
La combinación de estos obtenemos $\sim p \vee q$.
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