¿Por qué funciona el teorema fundamental del cálculo?

Question

Desde hace algún tiempo he sabido que uno de los teoremas fundamentales del cálculo establece:

$$ \int_{a}^{b}\ f'(x){\mathrm{d} x} = f(b)-f(a) $$

A pesar de usar esta fórmula, todavía no he visto una prueba o incluso una explicación satisfactoria de por qué se cumple esta relación. ¿Alguna idea?

Answer 1

Intuitivamente, el teorema fundamental del cálculo establece que "el cambio total es la suma de todos los pequeños cambios". $f'(x) \, dx$ es un cambio pequeñito en el valor de $f$. Sumas todos estos cambios pequeñitos para obtener el cambio total $f(b) - f(a)$.

Con más detalle, divide el intervalo $[a,b]$ en pedazos pequeños: \begin{equation} a = x_0 < x_1 < \cdots < x_N = b. \end{equation> Observa que el cambio total en el valor de $f$ a lo largo del intervalo $[a,b]$ es la suma de los cambios en el valor de $f$ a lo largo de todos los subintervalos pequeños $[x_i,x_{i+1}]$: \begin{equation} f(b) - f(a) = \sum_{i=0}^{N-1} f(x_{i+1}) - f(x_i). \end{equation> (El cambio total es la suma de todos los cambios pequeños.) Pero, $f(x_{i+1}) - f(x_i) \approx f'(x_i)(x_{i+1} - x_i)$. Por lo tanto, \begin{align} f(b) - f(a) & \approx \sum_{i=0}^{N-1} f'(x_i) \Delta x_i \\ & \approx \int_a^b f'(x) \, dx, \end{align> donde $\Delta x_i = x_{i+1} - x_i$.

Podemos convertir este argumento intuitivo en una prueba rigurosa. Ayuda mucho que podamos usar el teorema del valor medio para reemplazar la aproximación $f(x_{i+1}) - f(x_i) \approx f'(x_i) (x_{i+1} - x_i)$ con la igualdad exacta $f(x_{i+1}) - f(x_i) = f'(c_i) (x_{i+1} - x_i)$ para algún $c_i \in (x_i,x_{i+1})'. Esto nos da \begin{align> f(b) - f(a) & =\sum_{i=0}^{N-1} f'(c_i) \Delta x_i. \end{align> Dado $\epsilon > 0$, es posible dividir $[a,b]$ lo suficientemente finamente para que la suma de Riemann $\sum_{i=0}^{N-1} f'(c_i) \Delta x_i$ esté dentro de $\epsilon$ de $\int_a^b f'(x) \, dx$. (Esta es una definición de integra bilidad de Riemann.) Dado que $\epsilon > 0$ es arbitrario, esto implica que $f(b) - f(a) = \int_a^b f'(x) \, dx.

El teorema fundamental del cálculo es un ejemplo perfecto de un teorema donde: 1) la intuición es extremadamente clara; 2) La intuición se puede convertir directamente en una prueba rigurosa.

Conocimiento de fondo: La aproximación $f(x_{i+1}) - f(x_i) \approx f'(x_i) (x_{i+1} - x_i)$ es solo una reformulación de lo que considero la idea más importante en cálculo: si $f$ es diferenciable en $x$, entonces \begin{equation> f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x. \end{equation> La aproximación es buena cuando $\Delta x$ es pequeño. Esta aproximación es esencialmente la definición de $f'(x): \begin{equation> f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}. Si $\Delta x$ es un número pequeñito distinto de cero, entonces tenemos \begin{align> & f'(x) \approx \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ \iff & f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x. De hecho, todo el punto de $f'(x)$ es brindarnos una aproximación lineal local a $f$ en $x$, y todo el punto de cálculo es estudiar funciones que son "localmente lineales" en el sentido de que existe una buena aproximación lineal. El término "diferenciable" incluso se podría reemplazar con el término más descriptivo "localmente lineal".

Con esta vista de lo que es el cálculo, vemos que el cálculo y el álgebra lineal están conectados en el nivel más básico. Para definir "localmente lineal" en el caso donde $f: \mathbb R^n \to \mathbb R^m$, primero tenemos que inventar transformaciones lineales. Para comprender la aproximación lineal local a $f$ en $x$, que es una transformación lineal, tenemos que inventar el álgebra lineal.

Answer 2

Para combinar el análisis asintótico con el análisis no estándar.

Por la definición de derivada,

$$ f'(x) = \frac{f(x + \epsilon) - f(x)}{\epsilon} + o(1) $$

($o(1)$ significa que el error es infinitesimal)

Si $H$ es un entero positivo, infinito y no estándar, entonces por la regla del punto final izquierdo, usando la abreviatura $\xi_i = a + i(b-a)/H$,

$$ \begin{align}\int_a^b f'(x) \, \mathrm{d}x &= \sum_{i=0}^{H-1} (\xi_{i+1} - \xi_i) f'\left(\xi_i \right) + o(1) \\&= \sum_{i=0}^{H-1} (\xi_{i+1} - \xi_i) \left(\frac{f(\xi_{i+1}) - f(\xi_i)}{\xi_{i+1} - \xi_i} + o(1)\right) + o(1) \\&= \sum_{i=0}^{H-1} \left(f(\xi_{i+1}) - f(\xi_i) + o\left(\frac{b-a}{H}\right) \right) + o(1) \\&= f(\xi_H) - f(\xi_0) + o(1) \\&= f(b) - f(a) \end{align}$$

donde el último paso se sigue porque ambos lados son estándar, y por lo tanto la diferencia infinitesimal debe ser cero.

Answer 3

Otros han dicho que el cambio total es la suma de los infinitos cambios infinitamente pequeños, y estoy de acuerdo. Añadiré otra forma de verlo.

Piensa en $\displaystyle A = \int_a^x f(t) \, dt$, e imagina que $x$ se mueve. Dibuja la imagen, mostrando el eje $t$, la gráfica de $f$, la línea vertical en $t=a$ que forma el límite izquierdo de la región cuya área es la integral, y la línea vertical en $t=x$ formando el límite derecho, que se está moviendo.

Ahora vamos a introducir lo que me gusta llamar la "regla del límite":

   

[tamaño del límite] $\times$ [tasa de movimiento del límite] $=$ [tasa de cambio del área]

El tamaño del límite es $f(x)$, como se puede ver en la imagen descrita anteriormente.

La tasa de movimiento del límite es la tasa a la que se mueve $x$.

Por lo tanto, el área $A$ está cambiando $f(x)$ veces más rápido que $x$; en otras palabras: $$ \frac{dA}{dx} = f(x). $$ Esa es el teorema fundamental. Te dice que para encontrar $A$ cuando conoces $f(x)$, necesitas encontrar una anti-derivada de $f(x)$.

La "regla del límite" también tiene otras consecuencias interesantes:

• Imagina una esfera creciente con radio cambiante $r$ y área de superficie $A$. El tamaño del límite es $A$; la tasa a la que se mueve el límite es la tasa a la que cambia $r$. Por lo tanto, el volumen $V$ está cambiando $A$ veces más rápido que $r$; en otras palabras, $\dfrac{dV}{dr} = A$. Eso te dice que el área de superficie es $4\pi r^2$ si ya sabías que el volumen era $\dfrac 4 3 \pi r^3$.

• Imagina un cubo cuyo lado tiene longitud $x$, por lo que el volumen es $x^3$. Está en el suelo en la esquina suroeste de una habitación, de modo que sus caras sur, oeste y inferior permanecen donde están y sus caras norte, este y superior se mueven a la tasa a la que cambia $x$. Cada una de esas $3$ caras tiene área $x^2$, por lo que su área total es $3x^2$. El tamaño del límite móvil es $3x^2$ y la tasa de movimiento del límite es la tasa a la que se mueve $x$. En otras palabras, esto te dice que $\dfrac d {dx} x^3 = 3x^2$. Y esto se generaliza a dimensiones más altas para explicar por qué $\dfrac d{dx} x^n = nx^{n-1}$.

• El lado norte de un rectángulo tiene longitud $f$ y el lado este tiene longitud $g$. Los lados sur y oeste están fijos y no pueden moverse, así que cuando $f$ y $g$ cambian, solo los lados norte y este se mueven. El lado norte se mueve si cambia la longitud del lado este, y el lado este se mueve si cambia la longitud del lado norte. La tasa de movimiento del lado norte es la tasa de cambio del lado este, por lo que es $g'$. El tamaño del lado norte es $f$. Entonces, el tamaño del límite multiplicado por la tasa a la que se mueve el límite es $f \cdot g'$. Y si ambos se mueven, la tasa total de cambio de área es $f \cdot g' + f' \cdot g$. Esa debe ser entonces la tasa de cambio de área, $(fg)'$. Por lo tanto, tenemos la regla del producto.

Answer 4

Realmente hay dos FTC. Uno es lo que has escrito. El otro es

$$\frac{d}{dx} \int_a^x f(y) dy = f(x)$$

para funciones continuas $f$.

Este último es más fácil de entender. Si reemplazas $x$ por $x+\Delta x$ para $\Delta x$ positivo pequeño, entonces agregas un área que está "bien aproximada" por un rectángulo de altura $f(x)$ y ancho $\Delta x$. Puedes justificar esto intuitivamente simplemente dibujando una imagen. En la demostración rigurosa debes jugar con los errores para asegurar la propiedad anterior.

La FTC que has escrito es un poco más difícil de entender. Una forma de verlo es considerando la suma de Riemann

$$\sum_{i=0}^{n-1} f' \left ( a + i \frac{b-a}{n} \right ) \frac{b-a}{n}.$$

Por un lado, esta es una suma de Riemann para $\int_a^b f'(x) dx$. Por otro lado, esto equivale a sumar aproximaciones al cambio en $f$ sobre $[a,b]$ siguiendo la recta tangente en $n$ puntos. Dado que la recta tangente es la mejor aproximación lineal posible, puedes esperar que esta aproximación sea bastante buena, al menos si $n$ es grande. Y nuevamente, en la demostración rigurosa debes jugar con los límites de error para asegurar que a medida que $n \to \infty$ obtengas realmente $f(b)-f(a)$.

Answer 5

Por definición, sabemos (existen otras definiciones, pero si las funciones son suaves, estas definiciones son equivalentes):

$$f'(x)=\lim_ {h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h}$$

y

$$\int_a^b g(x)\, dx=\lim_ {h \to 0} \sum_ {i=0}^ {(a-b)/ h-1} h g(a + ih)$$

Combinando,

$$ \begin{align} \int_a^b f'(x)\, dx&=\lim_ {h \to 0} \sum_ {i=0}^ {(a-b)/ h-1} h f'(a + ih)\\ &=\lim_ {h \to 0} \sum_ {i=0}^ {(a-b)/ h-1} h \times {f(a + ih + h) - f(a + ih) \ over h} \\ &=\lim_ {h \to 0} \sum_ {i=0}^ {(a-b)/ h-1} {f(a + (i+1)h) - f(a + ih)} \\ &=f(b) - f(a) \end{align} $$

Literalmente todos los otros términos se cancelan.

PD: Sí, reconozco que mi respuesta es virtualmente la misma que la de Hurkyl, pero con cambios menores de detalles.