¿Thomas' Corkscrew es completamente regular? (from Counterexamples in Topology)

Question

En el Ejemplo 94 de Contraejemplos en Topología. En el ejemplo mismo, se menciona que el espacio es completamente regular. Pero en el apéndice al final del libro, se menciona que el espacio es regular pero no completamente regular. ¿Cuál es el correcto?

¡Gracias!

94. Thomas' Corkscrew

Sea $X = \bigcup_{i=0}^\infty L_i$ la unión de líneas en el plano donde $L_0 = \{ (x,0) \mid x \in (0,1) \}$, y para $i \geq 1$, $L_i = \{ ( x , \frac{1}{i} \mid x \in [0,1) \}$. Si $i > 0$, cada punto de $L_i$ excepto $(0,\frac{1}{i})$ es abierto; los vecindarios de $(0,\frac{1}{i})$ son subconjuntos de $L_i$ con complementos finitos. De manera similar, los conjuntos $U_i(x,0) = \{ (x,0) \} \cup \{ (x,\frac{1}{n}) \mid n > i \}$ forman una base para los puntos en $L_0$.

1. Cada vecindario de la base de $X$ es cerrado y abierto, así que $X$ es de dimensión cero y por lo tanto regular ya que claramente es T₁.

2. $X$ también es completamente regular ya que si $C$ es un conjunto cerrado y $p \notin C$, ...

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Answer 1

Solo para que esta pregunta no quede sin respuesta:

Steen y Seebach definen tanto la Tabla de Thomas (Ejemplo 93) como el Sacacorchos de Thomas (Ejemplo 94) prácticamente al mismo tiempo. La primera parte de esta sección (que se cita en la pregunta) define la Tabla de Thomas, y es este espacio el que es completamente regular (como se menciona en el punto 2). También hay que tener en cuenta que en la tabla se indica que el Ejemplo 93 es completamente regular (es decir, T₀ y T_{3 1/2}).

Solo más adelante dan alguna indicación sobre la construcción del Sacacorchos de Thomas, que citaré (p.114 de la primera edición):

5 Si usamos copias de la Tabla de Thomas para construir un sacacorchos (como en el sacacorchos de Tychonoff), podemos obtener un espacio regular que no es de Urysohn, ya que todas las funciones continuas $f$ serán constantes excepto por un conjunto numerable en los ejes de coordenadas en cada nivel del sacacorchos. Por lo tanto, si $p^+$ y $p^-$ son los puntos infinitos, $f(p^+) = f(p^-)$.

Hay que tener en cuenta que esto implica que el Sacacorchos de Thomas no es completamente regular, ya que $\{p^-\}$ sería un conjunto cerrado que no contiene a $p^+$ y que no puede ser separado de $p^+$ por una función continua con valores reales.