Se trata de una cultura comentario, en lugar de una respuesta, pero es un poco largo para el cuadro de comentarios, que es la razón por la que estoy escribiendo aquí.
Mi comentario es el siguiente: dar una conexión, y dando a los asociados en paralelo de transporte, son esencialmente la misma cosa, y así debe ser posible establecer la fórmula que se está tratando de demostrar por razonablemente conceptual, de alto nivel, el pensamiento, en lugar de ensuciar acerca demasiado complicadas ecuaciones diferenciales.
Permítame explicar un poco: ¿cómo definirías la derivada de un campo vectorial a lo largo de una curva? Bueno, la idea es que desea formar la costumbre de Newton cociente
$$ \dfrac{V\bigl(c(t+\epsilon)\bigr) - V\bigl(c(t)\bigr)}{\epsilon}$$
y, a continuación, deje $\epsilon$ ir a cero, para calcular la derivada de $V$ en el
punto de $c(t)$.
El único problema es que la sustracción en esta fórmula no tiene sentido,
porque la tangente vectores que se han restado se basan en diferentes puntos:
uno se basa en el $c(t+\epsilon)$ y el otro a $c(t)$.
Introduzca transporte paralelo: supongamos que tenemos un acuerdo sobre la manera de turno, o de transporte, la tangente
los vectores a lo largo de una curva. Entonces, podemos aplicar esta así como para el transporte de
$V\bigl(c(t+\epsilon)\bigr)$ $c(t+\epsilon)$ $c(t)$, y luego la forma de la
por encima de Newton cociente, y proceder a calcular una derivada.
De acuerdo con el método de desplazamiento de vectores a lo largo de las curvas es formalmente conocido como una opción de transporte paralelo, ya que si se tiene un método de este tipo, y si se define un campo vectorial a lo largo de una curva de $c(t)$ por la elección de algunos de los $V_0$ a
$c(t_0)$ y, a continuación, mediante el acuerdo sobre transporte paralelo para definir
$V\bigl(c(t))$ por que transporten $V_0$ a lo largo de $c$$c(t)$, se puede obtener un vector
campo a lo largo de $c(t)$ cuya derivada en cada punto será cero (por la construcción!). Por lo tanto este campo vectorial no cambia a lo largo de $c(t)$,
y, entonces, se compone de vectores paralelos, de ahí el nombre paralelo tranporte.
(Por supuesto, las nociones de cambio y en paralelo no son intrinsict a
el vector de campo; ellos dependen de nuestra elección particular de transporte paralelo.)
Por supuesto, nuestra elección de transporte paralelo debe satisfacer algunos axiomas (debe ser lineal; debe ser liso (de modo que los campos vectoriales a lo largo de las curvas de
que da lugar a son lisas); y así sucesivamente). Si nos fijamos en el texto de la derecha,
usted encontrará estos axiomas escrito.
Como hemos visto, una opción de transporte paralelo en nuestro colector proporciona una forma
de la diferenciación de los campos vectoriales a lo largo de las curvas. Pero desde un vector tangente
es sólo un infinitesimal de la curva, se ve que de hecho tenemos una manera de
la diferenciación de un campo de vectores en la dirección de un vector dado de campo: ampliar ese campo de vectores a una curva, y luego se diferencian a lo largo de la curva.
Por lo tanto una opción de transporte paralelo determina una conexión afín, es decir, de una manera
de la diferenciación de los campos vectoriales a lo largo de la tangente de los vectores. Por el contrario, esta información es suficiente para determinar el transporte paralelo: nos transporte paralelo de un vector tangente a lo largo de una curva, asegurándose de que su derivada (utilizando la conexión afín) en cada punto de la curva, en la dirección de la tangente de la curva, se desvanece.
Así que nos hemos pasado un círculo completo, de transporte paralelo, afín de conexión, de vuelta a transporte paralelo. El texto que se está leyendo es que la ortografía de la segunda mitad de este círculo, pero es quizás un poco escasa en detalles con respecto a la primera mitad; de hecho, el ejercicio que están tratando de resolver es exactamente acerca de la primera mitad del círculo, y su objetivo es comprobar que realmente está pasando a su alrededor en un círculo: es decir, que acabe de donde empezó.
Realmente hay algo para comprobar aquí (es decir, el ejercicio no es trivial si usted no lo ha hecho antes, y que están aprendiendo estas ideas por primera vez), pero tengo la esperanza de que la discusión anterior puede ayudar a arrojar algo de luz sobre su significado,
y también lo hacen parecer menos intimidante (y tal vez más conceptual y menos computacional) que de otra manera podría parecer.
