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Un movimiento requiere 1 dimensión, una rotación requiere 2 dimensiones, ¿un qué requiere tres dimensiones?

Movimiento Un objeto de dimensión cero no puede moverse. Un objeto unidimensional puede moverse en una dimensión (el eje x). Un objeto bidimensional puede moverse en dos dimensiones (el eje x y el eje y). Un objeto tridimensional puede moverse en tres dimensiones (los ejes x, y y z).

En otras palabras: Hay n formas diferentes de moverse un objeto n-dimensional.

Rotación Un objeto unidimensional no puede girar. Un objeto bidimensional puede rotar en un sentido (en el plano xy). Un objeto tridimensional puede girar en tres direcciones (en los planos xy, xz e yz). Y un objeto tetradimensional puede girar de 6 maneras (en los planos xy-, xz-, yz-, xw-, yw- y zw).

En otras palabras: Hay n(n-1)/2 formas diferentes de rotar un objeto n-dimensional.

Y ahora la pregunta: ¿cómo se llama lo siguiente?

Lo que sí sé es que lo siguiente tiene algunas propiedades si se sigue el mismo patrón. Pero no tengo ni idea de lo que es y esperaba que me pudierais ayudar.

Estas son algunas de las propiedades que he extrapolado:

Lo siguiente

Un objeto de cero, una y dos dimensiones no puede hacerlo. Un objeto tridimensional puede hacerlo de una manera (a lo largo de xyz). Un objeto tetradimensional puede hacerlo de cuatro maneras (a lo largo de xyz, xyw, xzw e yzw. Y si quieres extrapolar aún más... un objeto n-dimensional puede hacerlo de n(n-1)(n-2)/6 diferentes maneras.

Así que sí, ¿cómo se llama esta cosa?

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¿Te refieres a algo parecido a la propagación hiperesférica? por ejemplo, ¡una hiperesfera que se hace cada vez más grande a lo largo de los ejes temporales! ? :)

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El generador de traducciones en $1$ dimensión es $\epsilon_{i2}\partial/\partial x_i$ . El generador de rotaciones en $2$ dimensiones es $\epsilon_{ij3}x_i\partial/\partial x_j$ . Lo siguiente podría tener el generador $\epsilon_{ijk4}x_ix_j\partial/\partial x_k$ en tres dimensiones, pero desgraciadamente eso desaparece por antisimetría. (Aquí $\epsilon$ es el Símbolo Levi-Civita .)

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@joriki No lo sé. He leído el artículo de wikipedia de que, pero por desgracia, no lo entiendo.

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Mike Miller Puntos 17852

Una forma de interpretar esta pregunta es la siguiente:

El grupo de Lie $\mathbb R^n$ actúa eficaz y transitivamente sobre la variedad lisa $\mathbb R^n$ cada uno de ellos es $n$ -dimensional. El grupo ortogonal especial $SO(n+1)$ actúa eficaz y transitoriamente sobre $S^n$ ; el primero tiene dimensión $n(n+1)/2$ y $S^n$ tiene dimensión $n$ .

¿Podemos mejorar esto? ¿Hay, por ejemplo, $n(n-1)(n-2)/6$ -que actúan sobre $n$ -¿Múltiplos tridimensionales?

Si el grupo $G$ es compacto, la respuesta es un firme no . Es un resultado de Montgomery y Zippin que un grupo topológico compacto que actúa efectiva y transitivamente sobre una variedad de dimensión $n$ debe tener como máximo la dimensión $n(n+1)/2$ . Si desea $G$ sea un grupo de Lie que actúa suavemente, esto es más fácil: demuéstrelo primero si $G$ actúa por isometrías sobre una variedad riemanniana por inducción; entonces si se tiene una acción efectiva transitiva sobre $M$ promediar la métrica sobre $G$ para obtener un $G$ -en $M$ por lo tanto, una acción por isometrías. Que $G$ ¡es compacto es importante aquí!

No sé qué límites tiene uno en el caso de que $G$ no es compacto, me gustaría que alguien me lo dijera.

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