Movimiento Un objeto de dimensión cero no puede moverse. Un objeto unidimensional puede moverse en una dimensión (el eje x). Un objeto bidimensional puede moverse en dos dimensiones (el eje x y el eje y). Un objeto tridimensional puede moverse en tres dimensiones (los ejes x, y y z).
En otras palabras: Hay n formas diferentes de moverse un objeto n-dimensional.
Rotación Un objeto unidimensional no puede girar. Un objeto bidimensional puede rotar en un sentido (en el plano xy). Un objeto tridimensional puede girar en tres direcciones (en los planos xy, xz e yz). Y un objeto tetradimensional puede girar de 6 maneras (en los planos xy-, xz-, yz-, xw-, yw- y zw).
En otras palabras: Hay n(n-1)/2 formas diferentes de rotar un objeto n-dimensional.
Y ahora la pregunta: ¿cómo se llama lo siguiente?
Lo que sí sé es que lo siguiente tiene algunas propiedades si se sigue el mismo patrón. Pero no tengo ni idea de lo que es y esperaba que me pudierais ayudar.
Estas son algunas de las propiedades que he extrapolado:
Lo siguiente
Un objeto de cero, una y dos dimensiones no puede hacerlo. Un objeto tridimensional puede hacerlo de una manera (a lo largo de xyz). Un objeto tetradimensional puede hacerlo de cuatro maneras (a lo largo de xyz, xyw, xzw e yzw. Y si quieres extrapolar aún más... un objeto n-dimensional puede hacerlo de n(n-1)(n-2)/6 diferentes maneras.
Así que sí, ¿cómo se llama esta cosa?
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¿Te refieres a algo parecido a la propagación hiperesférica? por ejemplo, ¡una hiperesfera que se hace cada vez más grande a lo largo de los ejes temporales! ? :)
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El generador de traducciones en $1$ dimensión es $\epsilon_{i2}\partial/\partial x_i$ . El generador de rotaciones en $2$ dimensiones es $\epsilon_{ij3}x_i\partial/\partial x_j$ . Lo siguiente podría tener el generador $\epsilon_{ijk4}x_ix_j\partial/\partial x_k$ en tres dimensiones, pero desgraciadamente eso desaparece por antisimetría. (Aquí $\epsilon$ es el Símbolo Levi-Civita .)
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@joriki No lo sé. He leído el artículo de wikipedia de que, pero por desgracia, no lo entiendo.
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@Cardinal No creo que me refiera a la propagación hiperesférica, ya que eso sí tiene aplicación en una dimensión. (que yo sepa). EDIT: Además, creo que me estoy refiriendo sólo a objetos con dimensiones espaciales. Es decir, donde el tiempo no es una dimensión.
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Si no conoce los generadores de transformaciones, puede empezar por el artículo de Wikipedia sobre transformaciones infinitesimales . Sin embargo, no estoy seguro de si merece la pena que profundices en ello, ya que mi resultado fue negativo. Dicho esto, en caso de que a nadie más se le ocurra una generalización que funcione, mi argumento podría ayudar a explicar por qué no la hay. Muy buena pregunta, por cierto.
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¿Cuáles son las propiedades necesarias de esta "cosa" que dicen que una "cosa" en una dimensión sólo puede ser una traslación ("movimiento")? ¿La "cosa" debe producir una "copia" del objeto original? ¿Debe esa copia conservar la distancia entre cada par de puntos del objeto? ¿Está prohibido que la "cosa" sea un reflejo? A juzgar por tus ejemplos, parece que todas las respuestas son afirmativas, pero quizá no te he entendido bien.
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@DavidK las únicas restricciones son las combinaciones descritas anteriormente. (Por ejemplo, para la segunda "cosa" (rotación) debe haber n(n-1)/2 formas distintas de que un objeto n-dimensional haga esta segunda cosa). Esa es la única restricción. (Y por supuesto, para la tercera cosa, debería haber n(n-1)(n-2)/6 maneras para que un objeto n-dimensional haga esta tercera cosa). He editado el post para tratar de arreglar el problema de claridad
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@DavidK Ahora entiendo lo que quieres decir. La reflexión también contaría como la primera "cosa"
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Una forma de interpretar su pregunta es la siguiente. El grupo de Lie $\mathbb R^n$ actúa sobre $\mathbb R^n$ efectiva y transitivamente (por traslación); cada una tiene dimensión $n$ . El grupo de Lie $O(n+1)$ actúa sobre $S^n$ eficaz y transitoriamente por rotación; $O(n+1)$ tiene dimensión $n(n+1)/2$ . ¿Existe un $n(n-1)(n-2)/6$ -que actúa eficaz y transitivamente sobre algún grupo de Lie $n$ -¿manifold? Pero es un teorema de Montgomery y Zippin que un grupo compacto $G$ actuar de forma transitoria y eficaz en un $n$ -puede tener dimensión como máximo $n(n+1)/2$ .
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Una propiedad contraintuitiva de los objetos de cuatro dimensiones es que pueden girar simultáneamente alrededor de dos ejes separados. ¿Cómo se cuenta eso?
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No estoy de acuerdo en que un objeto de dimensión 0 no pueda moverse. Cualquier curva parametrizada en $R^n$ , $n\geq 1$ describe el movimiento de un punto ( $0$ objeto dim) en el tiempo. En general, un $n$ objeto dimensional $n \geq 0$ situado en un $n$ dimensional puede moverse a lo largo de cualquiera de las $n$ direcciones.
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@Paul: No me satisface del todo: ¿qué pasa con los grupos de dimensión finita, pero no compactos? Si encuentro algo que trate ese caso pronto lo posteo
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@GFR Lo siento, creo que quería decir: Un objeto de dimensión cero en un espacio de dimensión cero no puede moverse, pero no estoy seguro de si eso satisface las desigualdades que has usado, así que tendrás que decírmelo.
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@Paul Vale, estás pensando en la dimensión del espacio ambiente, no del objeto. Entonces estoy de acuerdo contigo.
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Me gusta el comentario de Mike Miller. Probando otros enfoques, imagino que lo primero es entender qué tienen de especial las traslaciones y rotaciones y qué espacios queremos considerar. Si nos ceñimos a $R^n$ con su producto interior natural que la traslación y las rotaciones son las únicas isometrías, así que supongo que no es posible ninguna otra generalización.
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Por otra parte, se podría considerar una variedad riemanniana más general, tal vez de algún tipo especial, digamos máximamente simétrica, y preguntarse si existe un submanifold incrustado que contenga la órbita de un vector de Killing y, en caso afirmativo, cuál es la dimensión mínima de este submanifold.
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Hay otras maneras de definir la rotación. por ejemplo, por reflexión/espejo, o por movimiento a diferentes posiciones en una esfera (círculo = esfera de 2 dimensiones). hay esferas unidimensionales y hay reflexiones unidimensionales, por lo que en esa forma de pensar, podría haber rotación unidimensional. también hay otras maneras de definir el movimiento. por ejemplo, el espacio 2d de píxeles en un ordenador se crea a partir de un espacio 1-d dentro de la memoria del ordenador, cada píxel tiene una única dirección de memoria. por lo que cada movimiento 2-d tiene un movimiento 1-d correspondiente y viceversa.