Álgebra lineal es una de las primeras "abstracciones" que encuentro en el que las matemáticas no es muy bien motivadas por la experiencia. (Bueno... hay números, que son bastante difíciles de abstracción, pero la mayoría de nosotros no recordar el aprendizaje de ellos.)
Esto ayuda a tener la historia.
Los matemáticos estudiaron la geometría simple y transformaciones en el plano como "rotación" y "traducción" (mover todo a la derecha de 3 pulgadas, o hasta por 7 pulgadas, o el noreste de 3,2 pulgadas, etc.) tan lejos como Euclides, y en algún momento, se dio cuenta de que podía hacer cosas como "hacer una traducción después de la otra", y el resultado fue el mismo que si se había hecho alguna traducción diferente. E incluso si lo hizo la primera de dos traducciones en un orden diferente, la traducción resultante todavía era la misma. Así que muy pronto, ellos dijeron: "Hey, estas traducciones se comporta un poco como los números de hacer cuando les agregamos juntos: el orden en que se agregue en no importa, e incluso hay algo que se comporta de la forma cero: "no se mueva" de la transformación, cuando se compone con cualquier otra traducción, da que otra traducción."
Así que tienes dos conjuntos diferentes de las cosas: números ordinarios, y de las "traducciones del avión", y por tanto, hay una manera de combinar ("+" para los números, "composición de transformaciones" para las traducciones), y cada uno de estos la combinación de reglas tiene un elemento de identidad ("0" porque, además, "no se mueva en absoluto" para la traducción), y para ambas operaciones ("+" y "componer"), el orden de las operaciones no importa, y usted comienza a darse cuenta de algo: si me resultó algo acerca de los números, utilizando sólo la noción de adición, y el hecho de que hay una identidad, y que la suma es conmutativa, me podría reemplazar un montón de palabras y me gustaría tener una prueba sobre el conjunto de todas las traducciones del avión!
Y la cosa siguiente que usted sabe, usted está empezando a darse cuenta de que otras cosas tienen estos tipos de propiedades compartidas, así que se puede decir "me voy a dar un nombre a los conjuntos de cosas como que: voy a llamar a 'grupos'." (Más tarde, te das cuenta de que la conmutatividad de la suma es de un tipo especial, y usted realmente quiere hablar de otras operaciones, como también, de modo de ampliar su noción de "grupo" y en lugar de llamar a estas cosas "Abelian grupos," después de Abel, el hombre que hizo un montón de los primeros trabajos sobre ellos.)
Lo mismo sucedió con el álgebra lineal. Hay algunos conjuntos de cosas que tienen ciertas propiedades, y alguien notó que TODOS tenían las mismas propiedades, y dijo: "vamos a nombre de ese tipo de colección". No era una bonita desarrollo -- la historia temprana de vectores fue complicado por la gente que quiere tener una manera de multiplicar los vectores en analogía con la multiplicación de números reales o números complejos, y se tomó un largo tiempo para que las personas se dan cuenta de que tener una "multiplicación" fue agradable, pero no es esencial, y que incluso para las colecciones que no tienen la multiplicación, todavía hay un montón de resultados importantes.
En un sentido, sin embargo, lo más interesante fue que no la establece a sí mismos, los "espacios vectoriales", sino más bien, la clase de transformaciones que preservan las propiedades de un espacio vectorial. Estos son los llamados "transformaciones lineales", y que son una generalización de las transformaciones que se aprenden en Euclid.
¿Por qué son tan importantes? Una de las razones de su importancia histórica es que para una función de $n$-espacio para $k$-espacio, la derivada evaluada en algún punto de $n$-espacio, es una transformación lineal. En resumen: algo que cuidamos mucho acerca de -- derivados -- resulta ser muy estrechamente ligada a las transformaciones lineales.
Para una función $f: R \R$, el derivado de $f'(a)$ es generalmente considerada como "sólo un número". Pero consideremos por un momento
$$
f(x) = \sqrt{x}\\
f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}\\
f(100) = 10 \\
f'(100) = \frac{1}{20}
$$
Supongamos que se desea calcular la raíz cuadrada de un número que es un poco más de 100, digamos, 102. Se podría decir, "nos traslada 2 unidades en el dominio; ¿hasta dónde tenemos que salir de 10 (es decir, en el codominio)?" La respuesta es que la raíz cuadrada de $102$ es (muy cerca) de la raíz cuadrada de 100, desplazados por $2 \cdot \frac{1}{20}$, es decir, a $10.1$. (De hecho, de $10.1^2 = 102.01$, que es bastante precisa!)
Así que podemos considerar "la multiplicación por $1/20$" como la derivada de la raíz cuadrada a $a = de$ 100, y esto le da una transformación lineal de "desplazamientos cerca de 100, en el dominio" a "desplazamientos cerca de las 10, en el codominio."
La importancia de los derivados del hecho de que realmente vale la pena para entender las propiedades de tales transformaciones, y por lo tanto también de comprender sus dominios...y muy pronto, otras situaciones que surgieron en otras partes de las matemáticas resultó "se parecen a los". Por ejemplo, el conjunto de todos los polinomios de grado no más de $n$ se convierte en un espacio vectorial: usted puede agregar polinomios, se puede multiplicar por una constante, etc. Y el espacio de todas las secuencias convergentes de números reales se convierte en un espacio vectorial. Y el conjunto de todas las funciones periódicas de período 1 se convierte en un espacio vectorial. Y muy pronto, así que muchas cosas no parecían compartir las mismas propiedades que alguien le dio", que tenía las propiedades particulares" un nombre: espacios vectoriales.
Hoy en día, viendo en cada cosa nueva que se introduce a través de la lente de álgebra lineal puede ser una gran ayuda...por lo que introducir la noción general de primero, y muchos estudiantes están desconcertados. Mi preferencia, en la enseñanza del álgebra lineal, es ver a tres o cuatro ejemplos, como "período-1 funciones periódicas" y "secuencias convergentes" y "polinomios de grado no más de $n$", y pida a los alumnos cuenta de que hay algunas similitudes, y sólo entonces definir "espacio vectorial". Pero eso es una cuestión de gusto.
