El tensor de tensiones de Maxwell se introduce como análogo al tensor de tensiones de la mecánica del continuo, y su forma se deriva de la ecuación $$ \frac{d}{dt} \int_V \boldsymbol{\mathscr{p}} + \boldsymbol{\mathscr{g}} \,dV = \oint_{S} d\mathbf S \cdot \mathbf T $$ donde $\boldsymbol{\mathscr{p}}$ es la densidad del momento de la materia y $\boldsymbol{\mathscr{g}}$ es la densidad de momento del campo EM. El lado derecho es una integral de superficie sobre $S$ el límite de la región $V$ y se parece a la fuerza superficial total en la mecánica del continuo. La región y por tanto también su superficie es arbitraria, la ecuación es válida para cualquier elección. Si el límite está en el espacio libre, obviamente no hay "fuerza superficial" en el sentido original, pero la ecuación tiene la misma forma que si la hubiera, como en la mecánica continua.
Como alternativa, se puede interpretar $d\mathbf S\cdot\mathbf T$ en el lado derecho no como una fuerza superficial por unidad de superficie, sino como un momento EM que entra en la región $V$ a través de $dS$ por unidad de tiempo. Esto es quizás mejor, ya que no tenemos que hablar de "fuerza de tensión" que actúa en el espacio libre (¿sobre qué? es una buena pregunta). Pero ambos puntos de vista se utilizan habitualmente.
EDITAR: En caso de que todo sea estático, fuerza en la distribución de la carga regular $\rho(\mathbf x)$ (primera partícula cargada) que está contenida en la región $V$ es $$ \mathbf F = \int_V \rho(\mathbf x)\mathbf E(\mathbf x) d^3\mathbf x $$ Esto se puede transformar utilizando las ecuaciones de Maxwell y el cálculo vectorial en $$ \mathbf F = \oint_S d\mathbf S \cdot \mathbf T $$ donde $S$ es la superficie límite de $V$ . Esto sólo significa que la fuerza electrostática sobre un cuerpo cargado puede calcularse como una suma de fuerzas elementales que actúan "localmente" o "a granel" como "fuerzas de volumen", o bien se puede calcular la misma fuerza a partir del campo en la superficie a distancia que encierra el cuerpo como una suma de fuerzas superficiales ficticias. Este último caso recuerda a la fuerza de tensión del continuo, pero la conexión es sólo matemática - físicamente, no hay fuerza en la superficie ya que no hay materia allí.
Nota: Todo esto se suele derivar sólo para distribuciones regulares, donde $\rho$ está acotado. La derivación no funciona para cargas puntuales, porque para ellas la integral de la izquierda no tiene sentido - son un caso especial que lleva a una teoría diferente. Sin embargo, por cierto, la integral de la derecha sigue siendo válida para las partículas puntuales. Esto se debe a que existe un teorema similar que se puede derivar para las partículas puntuales, con un tensor de tensión EM ligeramente diferente, que de forma un tanto sorprendente da la misma integral de superficie. Esto se ve fácilmente por el hecho de que la fuerza entre dos cuerpos cargados no depende de si los cuerpos son puntos o, digamos, esferas uniformemente cargadas.
Volviendo a las preguntas del OP, toda esta equivalencia entre las dos formas de expresar la fuerza se rompe una vez que los campos dejan de ser estáticos; entonces la presencia del momento EM en $V$ no se puede descuidar. Entonces la fuerza que actúa sobre un cuerpo cargado no viene dada únicamente por la integral del tipo derecho, pero se cree que la ecuación original de la fuerza -la primera ecuación de la OP (integral de una expresión local) sigue siendo correcta para los cuerpos extendidos.
