Vamos $$ \mathcal R=\{x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb Z^3:x_1^2+x_2^2-x_3^2=-1\}. $$ El grupo $\Gamma= M_3(\mathbb Z)\cap O(2,1)$ actúa en $\mathcal R$ por la izquierda de la multiplicación. Se sabe que sólo hay un $\Gamma$de las órbitas en $\mathcal R$, es decir, $\Gamma \cdot e_3=\mathcal R$ donde $e_3=(0,0,1)$.
Podría alguien darme una prueba de este hecho?
Gracias.-.
[Comentario: (i) $O(2,1)$ es el subgrupo en $GL_3(\mathbb R)$ que conserva la forma $x_1^2+x_2^2-x_3^2$, que es $$ S(2,1)=\{g\en GL_3(\mathbb R): g^t I_{2,1} g=I_{2,1}\}\qquad\textrm{donde}\quad I_{2,1}= \begin{pmatrix}1&&\\&1&\\&&-1\end{pmatrix}. $$
(ii) $g(\mathcal R)\subset \mathcal R$ cualquier $g\in \Gamma$ porque $g$ tiene coeficientes enteros y podemos escribir $$ x_1^2+x_2^2-x_3^2=x^tI_{2,1}x, $$ entonces $$ (gx)^t I_{2,1} (gx)= x^t (g^tI_{2,1}g)x=x^tI_{2,1}x=-1. $$]
