Espacio en el que todos los verdaderos valores de funciones continuas de lograr el máximo, pero no compacto?

Question

Un amigo está escribiendo un libro para los no-matemáticos; me ha hecho algunas preguntas... Una posible dirección que me fue sugerido que si un espacio topológico (espacio métrico, probablemente puede ser asumido dado lo que él dijo) para que cada valor real de la función alcanza su máximo debe ser compacto; y, si no, ¿ esta propiedad tiene un nombre?

Él pensó que esto probablemente no, pero tampoco uno de nosotros tiene un ejemplo. Hay una librería cercana que tiene copias de Contraejemplos en la Topología , así como Contraejemplos en el Análisis, y puedo ir a buscarlos cuando estoy encima de el jet lag. Mientras tanto, para estudiantes confundidos por estos temas (topología y análisis) o para no ver la motivación, contraejemplos son la mejor manera de entender las limitaciones de un teorema y por qué vale la pena probar en el primer lugar.

Answer 1

Un no-métricas contraejemplo es $\omega_1$, el espacio de contables ordinales, con el orden natural de la topología. Si $f:\omega_1\to\Bbb R$ es continuo, hay un $\eta<\omega_1$ e una $x\in\Bbb R$ tal que $f(\xi)=x$ siempre $\eta<\xi<\omega_1$, e $[0,\eta]$ es compacto, por lo $f$ debe alcanzar su máximo.

Sin embargo, claramente un espacio con esta propiedad es pseudocompact, y cada pseudocompact espacio métrico compacto, por lo que no hay métrica contraejemplos.

Answer 2

Al menos en la métrica de los espacios, esto es cierto. Para ver esto, primero suponga que tiene un conjunto infinito. A continuación, elige una secuencia tal que todos los miembros están separadas por una distancia mínima $\epsilon > 0$, y luego el orden de la secuencia de forma arbitraria como la $x_n$ y definir la función $f(x_n) = n$ $f(x) = 0$ en todos los otros puntos. Esto se puede extender a una función continua, si lo desea. No alcanzar su máximo.

A continuación, suponga que tiene un conjunto que no está cerrado. Luego de tomar cualquier punto límite no en el conjunto, se $x_0$, y definir la función $f(x) = 1 - d(x,x_0)$. No lograr su máxima, y es continua.

Answer 3

Compacidad en un espacio métrico es equivalente a la del espacio secuencialmente compacto. Para un no-espacio métrico compacto $(X,d)$, existe una función de $f:X\rightarrow\mathbb R$ tal que $f$ no alcanzar un máximo. Para mostrar esto, se dan cuenta de que, de no ser compacto, $(X,d)$ no debe ser secuencialmente compacto, entonces existe una secuencia $\{x_n\}\subset X$ tal que $\{x_n\}$ no tiene convergente posterior. Esto significa que para todos los $x\in X\setminus\{x_n\}$ existe $\varepsilon>0$ tal que $B(x,\varepsilon)$ es distinto para $\{x_n\}$. Por lo tanto, $\{x_n\}$ es un subconjunto cerrado de $X$. Definir $\tilde f:\{x_n\}\rightarrow\mathbb R$$f(x_n)=n$. Sabemos que $f$ es continua en a $\{x_n\}$ desde $\{x_n\}$ hereda la topología discreta de $X$ (ya que no hay límite de puntos), y por lo tanto cada función definida al respecto es continua. Luego, el empleo de la extensión de Tietze teorema, $\tilde f$ se extiende a una función continua $f:X\rightarrow\mathbb R$ lo cual sabemos no es ilimitada, puesto que ya está acotada en $\{x_n\}$.