¿Cuándo $\hbar \rightarrow 0$ válido transición de quantum para classcial mecánica? Cuando y por qué no?

Question

Veamos el caso de la transición de la amplitud de $U(x_{b},x_{a})$ para una partícula libre entre dos puntos de $x_{a}$ $x_{b}$ en la Feynman ruta integral de la formulación de

• $U(x_{b},x_{a}) = \int_{x_{a}}^{x_{b}} \mathcal{D} x e^{\frac{i}{\hbar}S}$

($S$ es la clásica de la acción). Se dice a menudo que uno obtiene de la mecánica clásica en el límite de $\hbar \rightarrow 0$. A continuación, sólo la clásica acción es contribuir, desde los términos con los no-clásicas $S$ cancelar a la otra debido a la gran oscilación de fase. Esto suena razonable.

Pero cuando nos fijamos en el Heisenberg de la ecuación de movimiento para un operador $A$

• $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{i \hbar} [A,H]$

el límite de $\hbar \rightarrow 0$ no tiene ningún sentido (en mi opinión) y no reproducir la mecánica clásica. Básicamente, todo el procedimiento de cuantización canónica no tiene sentido:

• $\{\cdots,\cdots\} \rightarrow \frac{1}{i \hbar} [\cdots,\cdots]$

No entiendo, cuando $\hbar \rightarrow 0$ da un resultado razonable y cuando no. La pregunta fue insinuado aquí: límite Clásico de la mecánica cuántica. Pero el debate sólo se trata de un ejemplo particular de esta transición. ¿Alguien tiene más información general sobre el límite de $\hbar \rightarrow 0$?

Answer 1

La teoría de la deformación de cuantización proporciona un marco en el que la cuántica y clásica de la transición puede ser llevado a cabo y se entiende.

De acuerdo a esta teoría, para (prácticamente ninguna) sistema cuántico, uno puede encontrar (puede ser nonuniquely) Poisson colector $\mathcal{M}$ (el espacio de fase) equipado con un asociativa producto que se llama el "producto estrella" de manera tal que el quantum observables están representados por las funciones lisas en $\mathcal{M}$ y el quantum del producto del operador está dado por el producto estrella.

Además, el producto estrella de dos funciones tiene un poder formal de la serie en $\hbar$

$f\star g = \sum_{k=0}^{\infty} \hbar^k B_k(f,g)$

De tal forma que:

$B_0(f,g) = fg$

$B_1(f,g)-B_1(g, f) = \{f,g\}$, (Corchete de Poisson)

Por lo tanto obtenemos:

$f\star g - g\star f = \hbar\{f,g\} + \sum_{k=2}^{\infty} \hbar^k (B_k(f,g)-B_k(g,f))$

Por favor, observe que de acuerdo a la deformación de la Filosofía, la cuántica los observables son sólo funciones en el espacio de fase como el clásico observables y todos los cuántica noncommutativity es proporcionada por la estrella producto. Por lo tanto, si definimos $\hat{f} = \frac{\hbar}{i} f$, se obtiene la se requiere límite clásico.

Cabe destacar que este procedimiento puede llevarse a cabo incluso para sistemas cuánticos definido por la matriz álgebra de operadores, por ejemplo, un adecuado la fase de centrifugado iis las dos esferas $S^2$, por favor, consulte la siguiente el artículo de Moreno y Ortega-Navarro. Morover,

Kontsevich en su seminal trabajo de un método constructivo para la construcción de este producto estrella en cada finito dimensionales de Poisson colector, por Favor consulte el siguiente Página de la Wikipedia.

También vale la pena mencionar que existen esfuerzos para generalizar la deformación de la construcción para el campo de las teorías y de incorporar renormalization en ella, por favor consulte el siguiente trabajo por Dito.

Answer 2

Esto suena razonable.

A mi más bien áspero comprensión es que, (si hay un clásico de acción para la transición,) en el límite es sólo el barrio de la acción clásica que está contribuyendo. La contribución de la acción clásica se mantiene a tener medir el $0$ en relación a la contribución de la vecindad, incluso cuando se toma el límite (en ese barrio se va a "tamaño" o "spread" $0$.)

Si no no es un clásico de acción para la transición, que luego todo eso falla, de todos modos.

Answer 3

En el operador lenguaje de la mecánica cuántica no (a ciegas) realizar el límite de $\hbar \rightarrow 0$ en las ecuaciones de movimiento (ecuación de schrödinger), sino expandir los estados como powerseries en $\hbar$. En primer orden: $\psi(x) = a(x) e^{S(x)}$. Si inserta esta expresión en la ecuación de schrödinger (de primer orden) de la clásica de Hamilton-Jacobi ecuación. Véase, por ejemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/WKB_approximation#Application_to_Schr.C3.B6dinger_equation o Bates, Weinstein: Conferencias sobre la geometría de cuantización para una interpretación geométrica