¿Cómo puedo evaluar la integral de la $\int \frac{1}{x^3 -1}dx$

Question

esta es mi primera pregunta aquí, así que espero que lo hizo todo bien. Todavía realmente nuevo al Látex como bien$$\int \frac{1}{x^3 -1}dx $$

La primera vez que utiliza fracciones parciales para descomponer esta integral en dos partes$$\int \frac{1}{3(x-1)}dx -\frac{1}{3} \int \frac{x+2}{x^2 + x + 1}dx$$

Definitivamente me puede resolver la primera parte como $\frac{\ln(x-1)}{3}$ pero estoy atascado con la segunda parte ya no sé qué hacer ya que el denominador no es fácil de factor de poder.

Gracias de antemano a cualquiera que se tome el tiempo de leer esto.

Edit: yo sé que usted puede completar el cuadrado para hacer la integral de la más bonita, pero no sé cómo cancelar el numerador o separar a relacionar la integral de a $\int \frac{1}{x^2 + 1}$ para obtener algún valor de arctan(x) +c

Answer 1

$$ x^2 + x + 1 = \left(x+\frac 1 2\right)^2 + \frac 3 4 = u^2 + \frac 3 4. $$ La técnica estándar en el álgebra para la reducción de un problema que implica un polinomio cuadrático con un primer grado plazo para un problema que implica un polinomio cuadrático con ninguna de primer grado plazo es completar el cuadrado.

Answer 2

Continuando desde la que parte, se rompe la integral en dos partes:
$$\int \frac u {u^2 + 3/4}du+\int \frac {\frac 3 4} {u^2+\frac 3 4}$$

El primero que hacer como un simple $u$-substiution para llegar a $\frac 1 2 \ln (u^2 +\frac 3 4)$.

El segundo factor a cabo una $\frac 3 4$ y poner el factor de la parte con el squre, para obtener el $$\frac 3 4 \int \frac 1 {(\frac {\sqrt 3} 2u)^2+1}du.$$ A partir de ahí, el uso de otro u substution, establecimiento $v=\frac {\sqrt 3} 2u$$du=\frac 2 {\sqrt 3}dv$, consiguiendo $$\frac 3 4 \cdot \frac 2 {\sqrt 3}\int \frac 1 {v^2+1}dv,$$, a continuación, obtener su arctan.