Deje $F$ integrante de dominio con carácter $2$. Deje $a\in F[t]$$a \notin F$. Deje $\alpha (a)$ ser una raíz de la ecuación de $x^2+ax+1=0$. Se definen dos secuencias de $X_m(a), Y_m(a) \in F[t], m \in \mathbb{Z}$ por
$$X_m(a)+\alpha (a)Y_m(a)=(\alpha (a))^m=(a+\alpha (a))^{-m} \tag 1$$
Lema.
Deje $F$ integrante de dominio con carácter $p=2$. Deje $a \in F[t], a \notin F$. Para todos los $m, n \in \mathbb{Z}$ tenemos :
$X_m(a)$ (resp. $Y_m(a)$) es igual al polinomio obtenido por la sustitución de $a$ $t$ $X_m(t)$ (resp. $Y_m(t)$).
El grado del polinomio $X_m(t)$ $m-2$ si $m \geq 2$.
El grado del polinomio $Y_m(t)$ $m-1$ si $m \geq 2$.
$X_{-m}=X_m(a)+aY_m(a)$
$Y_{-m}(a)=Y_m(a)$Todas las soluciones $X, Y \in F[t]$ de la ecuación $$X^2+aXY+Y^2=1\tag 2$$ are given by $X_m(a), Y_m(a)$, with $m \in \mathbb{Z}$.
Yo quiero probar este lema, pero me estoy enfrentando algunas dificultades en $2$.
Primero me mostró que $(X_m(a), Y_m(a))$ es una solución de la ecuación de $(2)$. Pero, ¿cómo podemos mostrar que todas las soluciones de la ecuación de $(2)$ se dan por $X_m(a), Y_m(a)$.
No tengo idea de cómo hacerlo... ¿me Podría dar algunos consejos?
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EDITAR:
En el documento que estoy buscando me encontré con el correspondiente lema para el caso de que la característica no es $2$ y su prueba:
PRUEBA.
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Quiero probar a hacer lo mismo para el caso de $\text{char}=2$ pero primero tengo que aclarar algunos puntos en la prueba anterior.
¿Por qué consideramos que el campo de $K=R(t)(a)$?
Es $S$ el conjunto de puntos en el que las funciones de $K$ no están definidos?
