Las identidades de grupo y la recíproca

Question

Un conjunto es un conjunto. Un magma es un conjunto con un operador binario. Un semigroup es un magma con un asociativa operador binario. Un monoid tiene dos caras, la de la identidad. Y un grupo tiene dos caras, a la recíproca.

Me preguntaba sobre una cara versos de dos caras. Bajo qué condiciones es un elemento de identidad necesariamente de dos caras? Bajo qué condiciones es una inversa necesariamente de dos caras? Y cuáles son las más simples de las pruebas para estos?

---

Los teoremas que tengo hasta ahora:

• Un magma puede tener varios distintos izquierda identidades o varios distintos derecho-identidades, pero nunca puede tener un distinto a la izquierda y a la derecha de la identidad. [1: $\forall x. lx=x$. 2: $\forall x. xr=x$. 1 implica que $lr=r$, mientras que 2 implica que $lr=l$. Así que o $l=r$ o, al menos, uno de 1 o 2 es falsa.]

• La asociatividad además de la existencia de una de las dos caras de la inversa es suficiente para dar a entender que cualquier inversa es de dos caras. [Si $y$ es la izquierda-inversa de a$x$$xyx = x(yx)=xi=x$. Por la asociatividad, $xyx=(xy)x=x$, lo que implica que $xy=i$. En otras palabras, $y$ es también el derecho-inversa de a $x$.]

Tengo la sensación de que asociativa de magma no puede tener una cara de identidades -, pero no puedo demostrarlo.

Answer 1

El clásico resultado en esta área es que si $G$ es un semigroup con una izquierda identidad $e$ y tales que cada elemento tiene una izquierda inversa con respecto a $e$ , $G$ es un grupo. Hay pruebas de esto en todo el lugar, en la sección 1.1 de Hungerford del Álgebra, por ejemplo. Por supuesto, lo mismo ocurre con la "izquierda" reemplazar con "derecho" a lo largo de.

Prueba: Para cualquier $g$$G$, $(gg^{-1})(gg^{-1})=g(g^{-1}g)g^{-1}=geg^{-1}=gg^{-1}$ Multiplicando ambos lados de la izquierda por $(gg^{-1})^{-1}$, $egg^{-1}=e$ y, por tanto,$gg^{-1}=e$. Por lo tanto $g^{-1}$ es de hecho una de dos caras, la inversa de a $g$ (con respecto a la identidad de $e$). Además, $ge=g(g^{-1}g)=(gg^{-1})g=eg=g$, y, por tanto, $e$ es un dos caras de la identidad.

En el contraejemplos lado, una estructura fértil para mirar es cualquier conjunto de al menos dos elementos con la operación $a*b=b$. Este es un semigroup en la que cada elemento es a la izquierda de la identidad, mientras que ningún elemento es un derecho de identidad. Además, si fijamos a la izquierda de la identidad $e$, entonces cada elemento tiene un derecho inversa (también se $e$) con respecto a $e$, mientras que sólo el $e$ ha dejado inversa (de hecho todo lo que está a la izquierda de la inversa). Si se relaja la condición de "$a$ ha dejado inversa" para significar "no existe $b$ tal que $ba$ está a la izquierda de la identidad" (en lugar de elegir una identidad específica y apegarse a él), entonces todo lo que está a la izquierda de la inversa de todo.

Answer 2

Usted puede encontrar su respuesta en el siguiente artículo de A. H. Clifford en los Anales de la Mathemtics, volumen 34 (1933), páginas 865-871:

"Un Sistema como consecuencia de un debilitamiento del Conjunto de Grupo de Postulados"

http://www.jstor.org/stable/1968703

Answer 3

Clifford y Preston, teoría Algebraica de semigroups, Vol. 1, cubre los siguientes hechos:

• Si un semigroup ha dejado de identidad y el derecho a la identidad, entonces son lo mismo, y es un dos caras de la identidad. (Tenga en cuenta que no inversos son necesarios para este hecho.)
• [Dickson, 1905] Si un semigroup ha dejado de identidad $e$ y la debilidad de la izquierda inverso de cada elemento con respecto a $e$, entonces es un grupo. (Es decir, $e$ resulta ser un derecho de la identidad y la debilidad de los inversos llegar a ser uniquetwo cara inversos.)
• [Weber, 1986, Huntington, 1901] Si un semigroup ha débil cocientes, es decir, para cada $a$ $b$ existe $x$ $y$ tal que $ax = b$$ya = b$, entonces es un grupo.

Creo que las pruebas de todos ellos son más o menos sencillo, y es instructivo para trabajar para uno mismo.

Answer 4

Aunque gran parte de los hechos que han sido escritas. Sólo a modo de resumen, la prueba de todos se pueden encontrar en el documento "Un Sistema como consecuencia de un debilitamiento del Conjunto de Grupo de los Postulados de" mencionado por user83548

Sean (G, *) un semigroup con un no vacío E consta de izquierda identidades de G.

1. para todos los g en g y para todos e en e existen h en h tal que h*g=e, entonces es el grupo

2. Para todos los g en g y todos los e en e existen h en G tal que g*h = e, entonces no es necesario un grupo.

3. para todos los g en g existe e en e y existe h en G tal que h*g=e, entonces G no puede ser de grupo(Vea la diferencia entre los 2. y 3.y 5).

4. para todos los g en g existe e en e y existe h en G tal que g*h=e, entonces G no puede ser el grupo.

5. existen e(fijo) en E tal que para todo g en g existe h en G tal que h*g=e, entonces G es un grupo. (problema de I. N. Herstein)

6. existen e(fijo) en E tal que para todo g en g existe h en G tal que g*h=e entonces G no necesita ser de grupo(Vea la diferencia entre los 2. y 3.)(problema de Herstein)

7. Si E es singleton, a continuación, con las condiciones de 3. G es un grupo.

Nota: (a) 2. 3. 4. y 6. son equivalentes las condiciones bajo determinadas hipótesis(objetivo del documento) que hacen una algebric estructura llamada 'Varios grupos'

Ejemplo de varios del grupo que no es del grupo es fácil de construir(Véase el documento de la referencia, si no es capaz de construir)

(b) 5. con las condiciones dadas, se toma como definición de grupo en 'Álgebra por Van der Waerden'. Pero asegúrese de diferenciar entre 2. y 5. porque sólo señalar esta diferencia A. H. CLIFFORD descubierto estos hechos.

(c) Alrededor de 7. necesitas trabajar un poco. para referencia de lectura índice de múltiple grupo en papel.

(d) Y último hecho importante que organizar todos los hechos en una sola dirección es: 2. 3. 4. y 6. son equivalentes a: para todo a, b en G de la ecuación xa=b tiene solución única(bajo ciertas hipótesis) que implica a la izquierda de la cancelación de la ley.