¿Existe una infinidad de números enteros positivos que no puede ser representada por $ab+bc+ca$?

Question

Un amigo mío me enseñó la siguiente pregunta de la que él ha estado tratando de resolver. Estamos frente a la dificultad.

Pregunta : Dos conjuntos de $A,B$ se definen como $$A=\{n\ |\ n\ \text{is a positive integer}\},$$ $$B=\{ab+bc+ca\ |\ a,b,c\ \text{are positive integers}\}.$$ A continuación, se $|A\cap B^c|$ infinito donde $B^c$ es el complemento de a $B$?

Lo que hemos encontrado es la siguiente : Vamos a $m$ ser un entero positivo.

• $2m+1\in B$. Tome $(a,b,c)=(1,1,m).$

• $4m+4\in B$. Tome $(a,b,c)=(2,2,m)$.

• $12m+2\in B$. Tome $(a,b,c)=(1,2,4m)$.

• $60m-14\in B$. Tome $(a,b,c)=(3,2,12m-4)$.

• $60m+6\in B$. Tome $(a,b,c)=(3,2,12m)$.

• $60m-6\in B$. Tome $(a,b,c)=(4,6,6m-3)$.

• $60m-26\in B$. Tome $(a,b,c)=(4,6,6m-5)$.

También, hemos encontrado que $$1,2,4,6,10,18,22,30,42\in{A\cap B^c}.$$

Sin embargo, no sabemos qué hacer a continuación. Alguien puede ayudar?

Answer 1

Borwein y Choi mostró en un corto papel en 2000, que no son de 18 o 19 de soluciones, y la primera de 18 años son

$$1, 2, 4, 6, 10, 18, 22, 30, 42, 58, 70, 78, 102, 130, 190, 210, 330, 462.$$

(Esta es la secuencia de A025052 en OEIS.) Como de papel, se sabe que la otra solución, si existe, es $> 10^{11}$, y que tal solución no existe si la generalización de la Hipótesis de Riemann es cierto. No sé si este excepcional caso ha sido resuelto de otra manera. Borwein y Choi prueba comienza por la división en el squarefree y nonsquarefree los casos (en el último caso sólo da $4$$18$) y, a continuación, whittles abajo de las posibilidades, en parte, por la producción de algunos casos especiales, no a diferencia de la lista de arriba.

Curiosamente, este problema resulta ser equivalente a la clasificación de los discriminantes para los que no indecomposable positiva definida binario cuadráticas formas existen.

Answer 2

Reconozco que no se puede probar o refutar esto, pero si he tenido que probar/refutar esto, me gustaría hacer la suposición de que este conjunto sería finito.

Entonces, existe algún valor de a $n_0$ para que todos los valores en $B^C < n_0$.

Entonces te tienes que construir un nuevo número de $n_1$ $B^C$ mayor que $n_0$ que no tienen, o mostrar un camino para la construcción de $a, b, c$ para ese número.

Pero, probablemente, que no es simple.