Si $\varphi(x) = m$ tiene exactamente dos soluciones es posible que ambas soluciones son?
Aquí, $\varphi(x)$ es de Euler del phi de la función, el número de enteros positivos menores o iguales a $x$ que son relativamente primos a $x$.
Parece que cuando $\varphi(x) = m$ tiene exactamente dos soluciones, a continuación, una de las soluciones, $x$, es impar y la otra solución es, incluso, específicamente $2\times x$. El primer par de números enteros $x$ tal que $\varphi(x) = m$ tiene exactamente dos soluciones son: $1,11,23,29,31,47,53,81,59,\dots$ cuando la otra solución es necesariamente $2\times x$. Por ejemplo, $\varphi(81) = \varphi(162) = 54$ y no hay ningún otro enteros $k$ tal que $\varphi(k) = 54$. Ver la secuencia de $A007366$ en Sloane del OEIS. He determinado que los primeros términos de esta secuencia fueron todos los impares con una fuerza bruta código de Mathematica, que es precisa (y oportuna) por $1000$ términos.
El emperical la evidencia sugiere que si $\varphi(x) = m$ tiene exactamente dos soluciones, a continuación, exactamente uno de ellos es impar. Quiero probar esta afirmación.
Es directa para demostrar que tanto las soluciones no pueden ser extraño ya que si $x$ es impar, a continuación,$\varphi(x) = \varphi(2\times x)$.
Estoy pensando en el caso de que ambas soluciones son, incluso, la esperanza de una contradicción. He decidido que si ambas soluciones, decir $x$$y$, se $x$ $y$ son ambos divisibles por $4$. También, en este caso, al menos uno de $x$ o $y$ es divisible por $3$. Ahora estoy atascado. Hay alguna manera para llegar a una contradicción aquí.
Hay otra forma de demostrar (o intento de demostrar) la conjetura?