Es álgebra abstracta (la mayoría?) restringido a $2$-ary operadores?

Question

Esto puede ser debido a mi propio pura ignorancia pero es mi experiencia que todos álgebra abstracta he sido introducidas, tanto en real y cursos de auto-estudio solamente se ocupa algebraica de los objetos que consiste en un conjunto junto con uno o más operadores binarios definidos en el set, quizás más de alguna otra estructura algebraica. Sin contar las categorías aquí, sólo de "bajo nivel"-ish cosas.

Soy una estudiante universitaria, por lo que mi conocimiento es muy limitado, pero no puede dejar de preguntarse por qué nunca me tropezar con estructuras algebraicas con $n$-ary operadores? Hay una buena razón para ello, a lo largo de las líneas de $n$-ary operadores se comportan "mal" al $n>2$ o es sólo mi ignorancia ya que soy un principiante en el campo?

Answer 1

La asociatividad permite "conectar" operaciones binarias para producir $n$-ary. En la moderna álgebra se puede trabajar con $n$-ary operaciones llama $\infty$-estructuras (como $A_\infty$, $L_\infty$, $E_\infty$ etc...). La asociatividad no es más necesario.

Answer 2

En la lógica de los operadores 2-ary, ya que cualquier función de $\mathbb Z_2^n\rightarrow \mathbb Z_2$ puede ser expresada por 2-ary operadores. En matemáticas es sólo debido a que el álgebra abstracta es una generalización de los números y sus operadores comunes.

Para el estudio general de la n-aries en la misma manera requeriría una gran cantidad de nuevas experiencias y heurística de las superestructuras.

Sin embargo, el Montón de la teoría de hacer el estudio ternario (3-ary) operaciones. Y otro ejemplo interesante es planar ternario de los anillos.

Pero obviamente, los seres humanos como 2-aries más.

Answer 3

La razón es simplemente que muchos interesantes de las matemáticas que se pueden hacer (o modelados por las operaciones de arities $\leq 2$. El propósito de álgebra abstracta no es para el estudio de estructuras algebraicas definidas por el azar de las operaciones y reglas aleatorias entre ellos, sino más bien dar un marco general para estructuras algebraicas que aparecen a partir de otros contextos (que a menudo son más geométrica).

Por otro lado, hay estructuras algebraicas que son estudiados y que han $\geq 3$-ary operaciones que no son reducibles a $\leq 2$-ary operaciones.

• ternario campos
• montones
• ternario álgebras de

Véase también la introducción de arXiv:1403.7099 para algunos antecedentes y referencias sobre el ternario álgebras.

Answer 4

Tres comentarios:

• Usted podría estar interesado en leer sobre el álgebra universal http://en.wikipedia.org/wiki/Universal_algebra. (Sé prácticamente nada sobre este tema más allá de lo que uno aprende acerca de las operaciones binarias en una licenciatura álgebra abstracta curso, así que no puedo dar fe de la exactitud de la información contenida en ese artículo de wiki.)
• Esto es pura especulación, pero mi conjetura es que la mayoría de las operaciones algebraicas que probablemente te encuentres puede ser entendido en términos de las operaciones binarias, por lo que la mayoría de los introductorio de álgebra abstracta cursos y libros de texto se centrará alrededor de ellos.
• Todo el tiempo me tomó de la licenciatura de álgebra abstracta supuesto, me preguntaba más o menos la misma cosa. He explorado un poco por mi cuenta (sin referencias, ya que yo no sé acerca de álgebra universal). Una de las dificultades que tenía era cómo generalizar algunas ideas desde el binario caso a la $n$-ary caso. Por ejemplo, supongamos que usted está tratando de construir un análogo de un grupo, pero con un ternario operación en lugar de binario. ¿Cómo se define la identidad y elemento inverso de un elemento?