La palabra clave de la pregunta es la coordenada de barrio, por lo que una definición clara de lo que sería de gran ayuda.
Definición 1. Una de coordenadas vecindad de un punto de $p \in M$ es un subconjunto abierto $U \subset M$ dotado de una colección de funciones $x^i \colon U \rightarrow \mathbb{R}$ donde $i=1,\dots,n$, de tal manera que el mapa
$$
\textbf{x} \colon U \rightarrow \mathbb{R}^n \colon p \mapsto
\left(\begin{array}{c}
x^{1}\\
\vdots\\
x^{n}
\end{array}\right)
$$
es un diffeomorphism en su imagen. Brevemente se denota por a $(U,x^i)$. Las funciones de $x^i$ se llama coordenada funciones. La coordenada correspondiente campos vectoriales $\partial_i := \frac{\partial}{\partial{x^i}}$ se definen como las derivadas parciales de w.r.t. coordinar $x^i$, por lo que el $\partial_i x^j = \delta_i^j$. No Riemann estructura está implicado hasta el momento.
No es lo que se llama el marco estándar $(E_i \in \Gamma(T \mathbb{R}^n))$ $\mathbb{R}^n$ tal que $E_i = (0,\dots,1,\dots,0)$ $1$ $i$- ésima posición. La métrica Euclidiana $g^E \in \Gamma(S^2 T \mathbb{R}^n)$ está definido por
$$
g^E(E_i,E_j)=\delta_{ij}
$$
El cuadro de coordenadas $(\partial_i)$ es la retirada de la norma marco $(E_i)$ por mapa $\textbf{x}$, que es
$$
\frac{\partial}{\partial{x^i}} = \textbf{x}^*E_i
$$
Ahora, vamos a $U$ ser un subconjunto de un colector de Riemann $(M,g)$. Un suave mapa
$$
F \colon (U,g|_U) \rightarrow (\mathbb{R}^n, g^E)
$$
es una isometría en su imagen si $F_*g=g^E$ o, de manera equivalente, $g = F^*g^E$. Recordar, que para un diffeomorphism $F$ el pull-back es la inversa de la pushforward: $F^* = (F_*)^{-1}$.
Como se puede ver a partir de la pregunta, la OP, se utiliza la siguiente
Definición 2. Una métrica de Riemann $g$ sobre una suave colector $M$ es llamado localmente plana si para cualquier punto de $p \in M$ hay un abrir vecindario $U$ $p$ tal que $U, g|_U$ es isométrico a un subconjunto abierto de $(\mathbb{R}^n, g^E)$. Para mayor brevedad, el término "plano de la métrica" es a menudo usado en su lugar.
Permítanme repetir un poco el hecho de que en la pregunta como la siguiente
La proposición. Para un subconjunto $U$ de un colector de Riemann $(M.g)$ las siguientes condiciones son equivalentes.
(i) $U$ es un "coordinar barrio" (de cualquiera de sus puntos) en el que el cuadro de coordenadas es ortonormales;
(ii) $(U,g|_U)$ es isométrico a un subconjunto abierto de $(R^n, g^E)$.
Prueba.
$(i) \Rightarrow (ii)$ Comprobar que el mapa de $\textbf{x} \colon U \rightarrow (R^n, g^E)$ proporciona la necesaria isometría, es decir,$g = \textbf{x}^* g^E$. De hecho,
$$
g_{ij}=g(\partial_i,\partial_j)=\textbf{x}^* g^E(\partial_i,\partial_j) = g^E(\textbf{x}_* \partial_i, \textbf{x}_* \partial_j) = g^E (E_i, E_j) = \delta_{ij}
$$
que exactamente significa que el marco de coordenadas $(\partial_i)$ es ortonormales.
$(ii) \Rightarrow (i)$ Deje $F: (U,g|_U) \rightarrow (\mathbb{R}^n,g^E)$ ser una isometría. Definir
$$
x^i (p) := F^i (p)
$$
es decir,$\mathbf{x} = F$. Ahora $(U,x^i)$ es un "coordinar barrio". QED.
Como se puede ver, de hecho esta es una tautología: todo lo que está oculto en las definiciones!
