Ver mi respuesta aquí para una breve discusión de cómo los puntos que están cerrados en una óptica (racional de soluciones para una ecuación de Diophantine, que están cerradas puntos en la variedad de más de $\mathbb Q$ adjunta a la ecuación de Diophantine) se convierten en no-cerrado en otra óptica (cuando tenemos claro denominadores y creo que de la ecuación de Diophantine como la definición de un esquema de más de $\mathbb Z$).
En términos de los anillos (y la conexión a Qiaochu de la respuesta), en virtud de la natural mapa
$\mathbb Z[x_1,...,x_n] \to \mathbb Q[x_1,...,x_n]$, la preimagen de máxima ideales son principales, pero no máxima.
Estos ejemplos pueden dar la impresión de que no cierra los puntos son los más importantes en la aritmética de las situaciones, pero en realidad ese no es el caso. El anillo de $\mathbb C[t]$ se comporta mucho como $\mathbb Z$, y así uno puede tener la misma discusión con $\mathbb Z$ y $\mathbb Q$ reemplazado por $\mathbb C[t]$ y $\mathbb C(t)$. Por qué iba a hacerlo?
Bien, supongamos que tiene una ecuación de ($y^2 = x^3 + t$) de la que desea estudiar, donde piensa de $t$ como un parámetro. Para estudiar el comportamiento genérico de esta ecuación, usted puede pensar en él como una variedad más de $\mathbb C(t)$. Pero supongamos que usted desea para el estudio de la geometría para un determinado valor de $t_0$ de $t$. Entonces usted necesita para pasar de $\mathbb C(t)$ $\mathbb C[t]$, de modo que se puede aplicar el
homomorphism $\mathbb C[t] \to \mathbb C$ dada por $t \mapsto t_0$ (especialización en $t_0$). Esto es completamente
de forma análoga a la situación considerada en mi vinculado respuesta, de tomar parte integral de soluciones para una ecuación de Diophantine y, a continuación, la reducción de ellos mod $p$.
¿Cuál es el resultado? Básicamente, cualquier estudio serio de las variedades de las familias (si aritmética de las familias, es decir, los esquemas de más de $\mathbb Z$, o geométrica de las familias, es decir, con parámetros familias
de variedades) requiere plan de teoría y técnicas de la consideración de la no-cerrado puntos.
(Por supuesto, graves tales estudios fueron realizados por el italiano geómetras, por Lefschetz, por Igusa, por Shimura, y por muchos otros antes de Grothendieck de la invención de los esquemas, pero el punto de esquemas es aclarar lo que vino antes y dar un preciso y viable teoría que abarca todos los contextos considerados en los "viejos tiempos", y también es más sistemática y más potente que el de las técnicas más antiguas.)
