La intuición detrás de filtro en un conjunto

Question

En "contra-ejemplos de topología" de Steen y Seebach, se define un filtro en un conjunto $X$ es un conjunto F de subconjuntos de a $X$ con las siguientes propiedades:

1. Cada subconjunto de $X$ que contiene un conjunto de $F$ pertenece a $F$

2. Cada intersección finita de conjuntos de $F$ pertenece a $F$

3. $\varnothing$ es no en $F$

Mi pregunta es: ¿qué es la intuición detrás de esta definición?

Answer 1

Por lo general, cada filtro codifica una posible definición de lo que significa para un subconjunto de a $X$ a ser "suficientemente grande" o "contienen la cantidad suficiente de puntos" para algo.

Además de Asaf, de ejemplos, de otros buenos filtros a tener en cuenta son

1. El principal filtro de $x\in X$, que es el conjunto de todos los subconjuntos de a $X$ que contengan $x$. Aquí "lo suficientemente grande" es casi trivial, siendo lo suficientemente grande como sólo medios para contener $x$.

2. El barrio de filtro de $x$, cuando se $X$ es un espacio topológico. Este es el conjunto de todos los subconjuntos de a $X$ que $x$ como un punto interior.

En estos ejemplos muestran que ser "grande" o (en Asaf palabras), incluyendo "la mayoría" de los elementos puede ser muy dependiente del contexto y no es necesario que corresponden a "la mayoría" en un sentido objetivo.

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El barrio filtro es especialmente importante porque es el prototipo de la utilización de filtros para generalizar la noción de límites. Los filtros son una posible respuesta a ¿qué es lo que hace "$x\to 5$"$\lim\limits_{x\to 5} f(x)$.

Por ejemplo, cuando se $\mathcal F$ es un filtro en $X$ $f$ es una función definida en $X$, podemos definir a la $$\lim_{x\to\mathcal F} f(x)=y \text{ means that } \forall \varepsilon>0\, \exists F\in\mathcal F\, \forall x\in F : |f(x)-y|<\varepsilon$$ Si elegimos $\mathcal F$ a ser el perforado-barrio filtro en $5$ nos da el límite habitual de $x\to 5$. Pero hay otros filtros que dan a los límites laterales ($x\to 5^+$ corresponde al filtro de todos los conjuntos que contengan $(5,5+\delta]$ algunos $\delta>0$) o límites que involucran el infinito ($x\to-\infty$ corresponde al filtro de todos los conjuntos que contengan $(-\infty,y]$ algunos $y\in\mathbb R$), y así sucesivamente, lo que puede ser considerado como instancias de un mismo concepto uniforme.

Answer 2

Los filtros vienen a la modelo de la noción de "grandes juegos", o subconjuntos que incluyen "la mayoría" de los elementos de $X$.

1. La mayoría de los elementos de $X$$X$; y la mayoría de los elementos son no en $\varnothing$.
2. Si la mayoría de los elementos están en $A$ y la mayoría de los elementos están en $B$, entonces la mayoría de los elementos están en $A\cap B$.
3. Si la mayoría de los elementos están en $A$, e $A\subseteq B$, entonces por supuesto que la mayoría de los elementos están en $B$.

Ejemplos de "la mayoría" se puede ver en los ejemplos canónicos, la cofinite filtro, es decir,$\mathcal F=\{A\subseteq X\mid X\setminus A\text{ is finite}\}$. A continuación, todos los $A\in\mathcal F$ incluye a la mayoría de los elementos de $X$ en este aspecto.

Del mismo modo, $\{A\subseteq[0,1]\mid m(A)=1\}$ donde $m$ es la medida de Lebesgue, nos da también un filtro en $[0,1]$ que nos dan los subconjuntos que son casi todo en términos de la medida.