Demostrar que una función es analítica

Question

Yo estoy luchando con el siguiente problema:

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Problema: Supongamos que $h$ es una función continua en un simple curva cerrada $\gamma$. Definir

$$H(w) = \oint_{\gamma} \frac{h(z)}{z - w} \, dz.$$

Mostrar que $H$ es analítica en $\mathbb{C} \setminus \gamma$.

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Me siento como la solución debe caer muy fácil a partir de la integral de Cauchy fórmula, pero estoy teniendo problemas para ver cómo conectar los dos. Podría alguien echar una mano?

Answer 1

Deje $w_1, w_2 \in \Bbb C - \gamma$. Tenemos $$\begin{align} \left|H(w_2) - H(w_1)\right| &= \left|\int_\gamma \frac{h(z)(z - w_1) - h(z)(z - w_2)}{(z - w_2)(z - w_1)}dz\right| \\ &= \left|\int_\gamma \frac{h(z)(w_2 - w_1)}{(z - w_2)(z - w_1)}dz\right| \\ &= \left|\int_\gamma \frac{h(z)}{(z - w_2)(z - w_1)}dz\right| \left|w_2 - w_1\right|. \tag{*} \end{align}$$

Por el ML lema, se sigue que $H$ es continua.

Ahora podemos utilizar Morera del teorema. Deje $\Delta \subset \Bbb C - \gamma$ ser un triángulo cerrado. Tenemos $$\begin{align} \int_{\partial \Delta} H(w)dw &= \int_{\partial \Delta} \int_\gamma \frac{h(z)}{z - w} dz dw \\ &= \int_\gamma \int_{\partial \Delta} \frac{h(z)}{z - w} dw dz \\ &= 0. \end{align}$$

Somos capaces de cambiar el orden de integración, ya que estamos en la integración de una función continua sobre conjuntos compactos. La última igualdad se sigue de Cauchy de integración del teorema desde $h(z)/(z - w)$ es holomorphic $\Bbb C - \{z\}$ como una función de la $w$.

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Alternativamente, como Cristiano Blatter sugiere, podemos usar (*) para obtener $$\begin{align} \lim_{w_2 \to w_1} \frac{H(w_2) - H(w_1)}{w_2 - w_1} &= \lim_{w_2 \to w_1} \int_\gamma \frac{h(z)}{(z - w_2)(z - w_1)} dz \\ &= \int_\gamma \frac{h(z)}{(z - w_1)^2} dz. \end{align}$$

Cambiar el límite de la integral y se justifica por la misma razón que el anterior. Esto le da una expresión para $H'(w_1)$.