Se puede todos los reales positivos ser escrito como la suma de una larga de punto punto punto

Question

Me respondió a esta cosa Infinita suma de primer recíprocos y ahora pregunto ¿qué pasa si no tenemos una fuerte condición como Bertrand postulado. he estado jugueteando con esto, no estoy seguro, de cualquier manera.

Dada una secuencia $a_1 > a_2 > a_3 \cdots$ de los estrictamente decreciente reales positivos tales que $$ a_i \rightarrow 0 \; \; \; \mbox{but} \; \; \sum a_i = \infty, $$ puede cada número real positivo puede expresarse como la suma de una larga de la $a_i?$ lo principal es que estamos no da ningún límite superior en $a_n / a_{n+1}.$ De los recíprocos de los números primos, tuvimos una cota superior de a $2.$

Tenga en cuenta que este es más sutil que la cosa sobre la reordenación de las estrictamente alternando condicionalmente convergente la serie para conseguir cualquier cosa que usted especifique. Es una cuestión de superación con términos positivos, entonces undershooting con términos negativos, de ida y vuelta. Este es un poco diferente.

Creo que lo que quiero es una cuidadosa prueba de ello: dados dos números reales positivos $B<C,$ podemos encontrar finita y larga de la $a_n$, con una suma de entre $B$ $C.$

Answer 1

Deje $x$ ser nuestro objetivo suma. Escoge un $i$ tal que $a_k < x/2$ todos los $k \ge i$. Tomar los elementos de la secuencia a partir de a $a_i$ hasta que su suma es mayor que $x/2$. No podemos atinar $x$ (debido a que los términos que estamos viendo son menos de $x/2$), y nos está garantizado para tener suficientes elementos de suficiente magnitud como para llegar a $x/2$. Repita el procedimiento con un objetivo de $x-whateversumwegot$ y tener que repetir para construir un subsequence con una suma de $x$.

Answer 2

Deje $x$ ser el deseado número real, y vamos a $i_1$ ser el menor entero positivo tal que $x > a_{i_1}$ (sabemos que un número entero existe porque $a_i \to 0$). Ahora vamos a $i_2$ ser el más pequeño entero positivo mayor que $i_1$ tal que $x - a_{i_1} > a_{i_2}$. Continuando de esta manera, obtenemos una larga $(a_{i_j})_{j=1}^{\infty}$ y la secuencia de sumas parciales $(S_k)_{k=1}^{\infty}$ es estrictamente creciente y acotada arriba por $x$, lo $S_k \to y \leq x$.

Supongamos $y < x$ y establezca $\varepsilon = x - y$. Deje $N$ ser el menor entero positivo tal que $a_N < \varepsilon$ y deje $J$ ser el mayor entero positivo tal que $i_J < N$ (por lo $N \leq i_{J+1}$). Como $i_{J+1}$ es el menor entero positivo mayor que $i_J$ tal que $x - a_{i_1} - \dots - a_{i_J} > a_{i_{J+1}}$$x - a_{i_1} - \dots - a_{i_J} > x - y = \varepsilon > a_N$, debemos tener $N = i_{J+1}$. Ahora tenga en cuenta que $x - a_{i_1} - \dots - a_{i_J} - a_{i_{J+1}} > x - y = \varepsilon$, lo $i_{J+2} = N+1$, y de la misma manera $i_{J+M} = N+M-1$. Pero, a continuación,

$$y = \lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^ka_{i_j} = \sum_{j=1}^Ja_{i_j} + \lim_{k\to\infty}\sum_{j=J+1}^ka_{i_j} = \sum_{j=1}^Ja_{i_j} + \lim_{k\to\infty}\sum_{i=N}^ka_i$$

lo cual es una contradicción ya que la serie diverge (debido a $\sum\limits_{i=1}^{\infty}a_i = \infty$).

Answer 3

Yo diría que sin duda lo. Denotar $S_{n,m} = \sum_{i=n}^m a_i$. Fix $L \in \mathbb{R}_+$ el límite deseado. Set $R_0 = L$. Dado $R_i$ $i \geq 0$ primer pick $N_i$ el menor entero con $a_{N_i} < R_i$, e $M_i$ a ser el mínimo entero$M_i \geq N_i$$S_{N_i,M_i} < R_i < S_{N_i,M_i + 1}$. A continuación, establezca $R_{i+1} = R_i - S_{N_i,M_i}$. Tenga en cuenta que$N_{i+1} > M_i$,$L = \sum_i S_{N_i,M_i}$. Obviamente hay un poco de verificación.

En un nivel filosófico, esto es muy similar a la alternancia de los casos, sin embargo aquí no permitimos que el sobregiro como hemos desecho antes que en términos negativos.

Answer 4

La clave es que las condiciones de garantía que, dado $\varepsilon>0$, podemos encontrar una larga $\{b_n\}$$0<b_n<\varepsilon$$\sum b_n=\infty$.

Por tanto, y dado $r>0$, elija $a_{n_1},\ldots,a_{n_{k_1}}$ $0<a_{n_j}<1/2$ $$r-1/2\leq a_{n_1}+\cdots+a_{n_{k_1}}<r.$$

A continuación elegimos $a_{n_k+1},\ldots,a_{n_{k_2}}$ $0<a_{n_j}<1/3$ y $$r-1/3\leq a_{n_1}+\cdots+a_{n_{k_2}}<r$$ (tal vez no son necesarias). La repetición de este, que con el tiempo se han $a_{n_1},\ldots,a_{n_{k_m}}$ tal que $$ r-1/m<a_{n_1}+\cdots a_{n_{k_m}}<r. $$