Dimensión de un objeto?

Question

Una forma sencilla de definir la dimensión es "el número de los números necesarios para describir un objeto."

Si tenemos en cuenta el conjunto de los círculos, podemos describir cada una de ellas por un número, radio, o la circunferencia o el área. Así que podemos decir que estos son unidimensional. Los rectángulos puede ser descrito por dos números, por lo que son dos dimensiones. Un 10x10 rojo-verde-azul de la foto tiene 300 dimensiones.

Es fácil de determinar, por ejemplo, que dos números son un máximo necesarios para describir un rectángulo. Pero, ¿cómo sabemos que es un mínimo así? Por ejemplo, podríamos trazar los números reales para los pares ordenados de números reales mediante la extracción de todos los otros dígitos de la entrada. E. g.: 23.7114812589 mapas (3.14159, 2.71728)

¿Por qué son las asignaciones de esta manera "ilegal" maneras de reducir la dimensión? Es allí una manera formal para definir la dimensión de modo que los rectángulos son definitivamente dos objetos tridimensionales?

Editar/Aclaraciones: Basado en las respuestas/comentarios de abajo y algunos adicionales de lectura, creo que es más correcto referirse a los "espacios" de todos los círculos (fuera de un sistema de coordenadas) como unidimensional. El espacio tiene una dimensión, no de los círculos de sí mismos (bueno, en realidad, los círculos pueden considerarse unidimensional - pero la primera es el contexto que me refería). Del mismo modo, me estoy refiriendo a el espacio de todas las naciones unidas orientadas a los rectángulos de arriba, no el rectángulo de sí mismo.

Answer 1

Existen métodos formales para definir la dimensión, de hecho, muchas de ellas, dependiendo del contexto. Como ya se ha señalado en un comentario, su descripción de por qué un círculo es unidimensional no es realmente correcto, aunque. La dimensionalidad de un círculo es no una función del hecho de que un círculo puede ser descrito mediante un único número (como la radio), pero que para describir los puntos en el círculo tiene un único número --- por ejemplo, la costumbre de parametrización $(\cos\theta,\sin\theta)$ a de un círculo, sólo se requiere un número, el ángulo de $\theta$. La esfera tiene dos dimensiones, porque se toma dos parámetros para describir un punto de la esfera (por ejemplo, latitud y longitud). Por supuesto, la esfera es nuevamente determinado por un número, su radio (pero eso no la hace uno-dimensional).

Para hacer esto más precisos, uno tiene que usar las ideas de la topología, como se mencionó en Fredrik Meyer respuesta. Un punto clave es que el mapa que utilizamos para parametrizar el círculo/esfera/lo que sea, debe ser continua (de hecho, incluso más; al menos en una vecindad de cada punto se debe admitir también un continuo inversa); el tipo de bijection se indican entre puntos en el $(x,y)$-plano y los puntos en la línea de no ser continuo).

Hay otras formas de definir la dimensión que no hacen uso de los parámetros, pero el uso de diferentes propiedades topológicas.

De estos, tal vez la idea de cubrir dimensión es la más básica. Para tener una idea de esto, piense primero en una regla: se puede dividir en pulgadas, y en cualquier momento habrá un máximo de dos diferentes pulgadas en intervalos de una reunión de unos a otros. Ahora piensa en una pared de ladrillo: si el albañil hizo un mal trabajo (sólo el apilamiento de ladrillos en la parte superior de uno al otro en columnas), a continuación, habrá puntos donde cuatro tipos diferentes de ladrillos están en contacto, pero incluso si ellos ponen los ladrillos correctamente, habrá puntos donde tres diferentes ladrillos están en contacto (esto es lo que se suele ver en una pared de ladrillo, cuando un solo ladrillo en una capa y se sientan en la parte superior de dos ladrillos en la capa de abajo); usted no puede evitar tener puntos donde tres ladrillos cumplir. (Aquí estoy ignorando el mortero entre los ladrillos.)

Ahora a pensar en hacer una sólida pirámide de bloques de piedra: incluso si usted organizar los bloques tan estable como sea posible, usted tendrá puntos en los cuatro bloques de piedra cumplir.

Así: la pavimentación de una línea (unidimensional) de las fuerzas de algunos de los puntos a tener a los adoquines de la reunión; la pavimentación de un plano (dos dimensiones) de las fuerzas de algunos de los puntos a tener tres piedras de pavimentación de la reunión; la pavimentación de un sólido (en tres dimensiones) de las fuerzas de algunos de los puntos a tener cuatro piedras de pavimentación de la reunión; usted probablemente puede ver el patrón!

Esta es una de las más topológico, menos analítico, la definición de la dimensión, que es importante en las investigaciones teóricas de dimensión. (Por ejemplo, es la base de la Cech definición de cohomology en la topología.)

También existe la idea de la dimensión de Hausdorff, que capta la idea de la dimensión en términos de la cantidad de volumen que una figura ocupa. Se puede dar a los no-valores integrales de la dimensión, y así se utiliza para la discusión de la dimensión de los fractales.

Answer 2

Es cierto que se puede codificar dos números reales en uno, pero como usted lo menciona es "trampa", ya que el número resultante no describe nada medible en su figura.

Ni siquiera estoy seguro de que hay un limpio número de dimensiones que usted está buscando, porque entonces lo que sería la dimensión de algo con un real paramater y un entero paramater ? o de un parámetro real y un parámetro de $\{1,2,3\}$ ? Creo que necesita más estructura para definir una limpia noción de dimensión, como espacio vectorial, por ejemplo.

Answer 3

Al menos en la geometría diferencial y topología, es común definir la dimensión (a grandes rasgos) el número de coordenadas necesarias para dar un punto.

Así, por ejemplo, puede utilizar el ángulo desde el eje x como coordenadas en el círculo unidad, por lo que es unidimensional. Para dar un punto sobre una esfera que necesita tanto de latitud y longitud, por lo que una esfera es de 2 dimensiones. Espacio de 3 dimensiones, ya que se necesitan tres coordenadas.

No queremos permitir "la trampa de los mapas", porque queremos que nuestros mapas continuamente (en algunos topología).

Answer 4

Hay más calificados respuestas, pero creo que puedo añadir algo.

Primero de todo, si $V$ es un espacio vectorial, y estamos en $ZFC$ tiene bases y todas las bases tienen la misma cantidad de elementos, vamos a decir $n$. Entonces, podemos definir la dimensión de este espacio vectorial $V$$n$.

En segundo lugar, vamos con enfoque de medición. Si tenemos una línea, doble y tenemos $2$ línea. Si tenemos un rectángulo, doble, y tenemos a $4$ rectángulo. Puede visualizar esta con la foto de abajo. Así, podemos decir, un objeto es $n$ dimensiones si, digamos que vamos a tener $m$ cuando hacemos doble, $log_2m = n$. Podemos pensar en este fractal. Si hacemos esto fractal y doble, tendremos $3$ copia de la misma. Así, la dimensión de es $log_23 (= 1.585...)$. También, en lugar de doblar uno puede multiplicar las medidas de objeto por $k$ y dimensión se $log_km$ con la definición misma de $m$.