Esencial Selfadjointness de Oscilador Armónico Cuántico de Hamilton

Question

El Hamiltoniano para el Oscilador Armónico Cuántico es (sin tomar en cuenta las constantes) el operador de Hermite $$ Hf = f"+x^{2}f, $$ donde $\mathcal{D}(H)$ se compone de todos los dos veces absolutamente funciones continuas $f \in L^{2}(\mathbb{R})$ que $Hf \in L^{2}(\mathbb{R})$.

Pregunta: Sin el uso de propiedades de funciones de Hermite o los polinomios de Hermite, existe un método directo para mostrar que

1. $f \in \mathcal{D}(H) \implies xf, f' \in L^{2}(\mathbb{R})$.

2. $f,g \in \mathcal{D}(H) \implies (Hf,g)= (f',g')+(xf,xg)=(f,Hg)$.

3. $H$ es selfadjoint. (2 implica que el espectro no es negativo.)

Antecedentes:el Uso de estos hechos, la escalera estándar argumento utilizado en la Física se convierte en una rigurosa prueba de que $f$ $L^{2}(\mathbb{R})$ eigenfunction de $H$ con autovalor $\lambda$ fib

• $\lambda=2n+1$ algunos $n=0,1,2,3,\cdots$, y

• $f$ es una constante múltiples de la función Hermite $$ h_{n}(x) = (-1)^{n}e^{x^{2}/2}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}}. $$

(En realidad, sólo las propiedades (1) y (2) son necesarios para justificar plenamente la escalera argumento.)

Answer 1

En primer lugar, sólo quería aclarar lo que se entiende por "dos veces absolutamente continua", mi suposición es que significa "dos veces absolutamente continuamente diferenciable". Si ese es el caso, entonces el hecho de que la cuestión se plantea en $\Bbb R$ es importante, por supuesto, $f\in L^2(\Bbb R)$ es un fuerte de la asunción.

Suponga $Hf=-f''+x^2f\in L^2(\Bbb R)$, esto nos dice que hay algunos $h\in L^2$ tal que $Hf=h$, y así obtenemos $$(Hf,f)=\int_\Bbb R-f''f+x^2f^2=\int_\Bbb R(f')^2+x^2f^2$$ $$=(h,f)\le\|h\|_{L^2(\Bbb R)}\|f\|_{L^2(\Bbb R)}<\infty,$$ tenga en cuenta que por el comentario de @gnm $f$ $f'$ desaparecer en el infinito, por lo que la integración por partes es justificado. Esto nos da $(1)$.

Tome $f,g\in\mathcal{D}(H)$, y tenemos $$(Hf,g)=\int_\Bbb R-f''g+x^2fg=\int_\Bbb Rf'g'+x^2fg=(f',g')+(xf,xg)$$ $$=\int_\Bbb R-fg''+x^2fg=(f,Hg)$$ de nuevo la integración por partes es justificado por la descomposición de la $f,f',g,g'$ en el infinito. Así que tenemos $(2)$.

Si nos hemos planteado la pregunta en $(-1,1)$ sin imponer condiciones en el punto final vamos a tener problemas, ya que no podemos justificar la integración por partes, que podría lograr el mismo "problema" mediante el establecimiento $\mathcal{D}(H)$ a ser el conjunto de funciones de $f\in L^2_{loc}(\Bbb R)$, de tal manera que $Hf\in L^2(\Bbb R)$ desde entonces no podemos justificar la integración por partes.

Conversly, el problema puede estar bien planteado en un intervalo finito si se establece en cero las condiciones de contorno en los dos puntos finales, entonces me imagino que el doble absolutamente continua supuesto significa que $f',g'$ son al menos acotado, por lo que podemos justificar la integración por partes. La búsqueda de $f\in L^2(\Bbb R)$ es una analogía similar a esta, como la que se está estableciendo una condición en la "extremos" $\pm\infty$ (en realidad es el caso limitante).