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Es el axioma de elección necesaria para demostrar que $a^2=a$?

Un comentario en esta respuesta los estados de que la elección es necesaria para la afirmación de que $a^2=a$ para todos infinito cardenales $a$. En Thomas Jech de la Teoría de conjuntos (3ª edición), su teorema 3.5 demuestra esta afirmación cuando se $a = \aleph_b$ algunos $b$.

No es claro para mí en la prueba donde el axioma de elección se utiliza - que alguien puede aclarar esto?

También me gustaría saber si esta afirmación es verdadera sin opción cuando estamos trabajando con un conjunto que ya está bien ordenada. En concreto: supongamos que tenemos un conjunto ordenado $A$, entonces es cierto que para cualquier infinitas $B \subset A$, tenemos $$ \text{card}(B)^2 = \text{card}(B) ? $$

Creo que Jech la prueba de 3.5 en ese caso sin la necesidad de AC, pero me gustaría comprobarlo.

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DanV Puntos 281

[Infinito] cada conjunto ordenado $A$ sostiene que $A^2\sim A$. Además si $B\subseteq A$ $A$ puede ser bien ordenado, a continuación, $B$ puede ser bien ordenado, y por lo tanto esta propiedad es verdadera para $B$ (si es infinito).

Sin embargo, es posible que para un no bien ordenado conjunto no podría ser cierto ya, de hecho tenemos la facilidad de generar este tipo de conjunto de todo no bien solicitar conjunto. Si $A$ es un bien no-conjunto ordenado y $\aleph(A)$ es un ordinal tal que $\aleph(A)\nleq A$ (por ejemplo, la Hartogs número de $A$), a continuación, $A+\aleph(A)$ tiene la propiedad: $$\big(A+\aleph(A)\big)^2>A+\aleph(A)$$

Uno debe notar que no es cierto para todos los no, bien de conjuntos ordenados. Incluso si $\mathbb R$ no puede ser bien ordenado todavía mantiene ese $\mathbb R^2\sim\mathbb R$.

Algunas pruebas:

Permítanme añadir un poco de historia, y se refieren a la Jech citación. Zermelo formulado el axioma de elección y probado (sin ella) que cada [infinito]-disponible tiene esta propiedad en $1904$. La prueba aparece en el segundo enlace de arriba. Cuando uno se demuestra que el axioma de elección es equivalente al hecho de que cada conjunto puede ser bien ordenado, uno inmediatamente se ve que el axioma de elección implica que todo conjunto infinito es bijectible con su plaza.

Por otro lado, Tarski demostró en $1923$ que lo opuesto es, en particular la prueba se basa en un interesante lema, que abusa de el ejemplo que me dieron para un conjunto sin esta cuadratura de la propiedad. Los detalles aparecen en la primera respuesta que me he ligado.

Curiosamente, en la década de $1970$'s de dos pruebas se anunció que $A+A\sim A$ no implica el axioma de elección. Sólo sé que se publicó, fue en el Tel. D. tesis doctoral de Sageev, y mi asesor me dijo que él (de pregrado en el tiempo) recuerda Sageev sentado en el banco y de trabajo en esta prueba, y que le tomó un largo tiempo para terminarlo. (Cada nota de pie de página en referencia a este modelo sugiere que la prueba es muy duro.)

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