Cómo entender la "Unión de las bolas centradas en los números racionales es la manera menos que $\mathbb{R}$

Question

Hace unos meses tuve que probar a $\lambda(\mathbb{Q}) = 0$ (donde $\lambda$ es el unidimensional de la medida de Lebesgue). La idea: que $\varepsilon \gt 0, r_n := \frac{\varepsilon}{2^n}$$\mathbb{Q} = \{q_1, q_2, \dots\}$. Entonces:

$$ \lambda(\mathbb{Q}) \le \lambda\left(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_{r_n}(q_n)\right) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{\varepsilon}{2^n} = \varepsilon. $$

Tengo este. Sin embargo, esto significa que muchos de los números irracionales no están en el conjunto de $S := \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_{r_n}(q_n)$, que es algo contra intuitivo, como $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$.

Hay alguna (gráfica) ilustración de esta afirmación? Al menos para una sola surjective función de $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}$ debemos ser capaces de encontrar los números irracionales que no están en $S$, no?

Me encantaría ver la visualización de este hecho. Ya me han demostrado que no son incontables muchos números irracionales en $\mathbb{R} \setminus S$, pero no me imagino a este. Todas las ideas para una buena imaginación (aunque no gráfica) son bienvenidos.

Answer 1

Esto no es exactamente su situación, pero podría ayudar a obtener la intuición. Dentro del intervalo de $[0,1]$, considerar el conjunto de los racionales de la forma$m/2^n$$m,n \in \mathbb{N}$. Estos son los números que, expresado en binario, han finito parte fraccionaria. Este conjunto es denso en $[0,1]$. Sin embargo, si colocamos encima de cada uno una bola de radio $r=2^{-(n+3)}$ todavía no cubren todo el intervalo - por ejemplo, no cubrimos el racional $2/3$ (en binario: $0.1010101010101\cdots$).

Answer 2

(Esto es realmente sólo un comentario largo, así que me estoy haciendo CW.)

Usted debe entender esta aproximadamente de la misma manera que usted entienda la resolución de los siguientes contrario a la intuición de hecho:

Entre dos números reales no es un número racional, sino $|\Bbb Q|<|\Bbb R|$.

Orden teórico de la densidad (que se traduce en topológico de la densidad de aquí) no es tan conectado a la cardinalidad como lo primero que esperar. De forma parecida, la densidad no es tan conectado a medida teórica tamaño como lo primero que esperar.

Pensar en el complemento de la unión de $\bigcup B_{r_n}(q_n)$. Este es un conjunto cerrado de los números irracionales que es denso en ninguna parte, pero ha medida infinita (o si usted se limita a las $[0,1]$$1-\varepsilon$). Desconcertante ¿no?

La resolución, como en el caso anterior, es que te tienes que acostumbrar a estos hechos, y entonces no parece tan extraño después de todo. Parecen bastante naturales de repente.

Answer 3

Usted está buscando algo más bien como en la ilustración de la Smith–Volterra–conjunto de Cantor de la Wikipedia (el conjunto se muestra como el blanco y su complemento como negro).

La definición es diferente, pero también es un lugar denso conjunto con medida positiva hecha por la eliminación de los intervalos alrededor de una contables conjunto.

Los bloques negros representan la quita de los intervalos, pero estos pronto obtiene menos de un píxel de ancho de hacer la aparentemente líneas grises que pronto se desvanecen a casi blanco: ninguna de las líneas verticales en la imagen son en realidad de color blanco puro, incluso si aparecen así a primera vista.