Para tres vectores cualesquiera $x,y,z\in\mathbb{R}^d$ tenemos $ \|y-z\|\cdot\|x\|\leq\|x-y\|\cdot\|z\|+\|z-x\|\cdot\|y\|$

Question

¿Alguien conoce una prueba del siguiente problema?

Problema: Demuestre que para tres vectores cualesquiera ${\bf x}, {\bf y}, {\bf z}\in \mathbb{R}^d$ se cumple lo siguiente, $$ \|{\bf y} - {\bf z}\|\cdot \|{\bf x}\| \leq \|{\bf x} - {\bf y}\|\cdot \|{\bf z}\| + \|{\bf z} - {\bf x}\|\cdot\|{\bf y}\|.$$

Todas las normas son la 2-norma euclidiana.

Answer 1

Si cualquiera de $x,y,$ o $z$ es cero, el resultado es trivial. Así WOLOG asumir que $x,y,$ $z$ son todos de cero y dejar $a = x/\Vert x\Vert^2$, $b=y/\Vert y\Vert^2$, y $c = z/\Vert z\Vert^2$. Tenemos $\left\Vert x-y\right\Vert=\frac{\left\Vert a-b\right\Vert}{\Vert a\Vert\Vert b\Vert}$, $\left\Vert z-x\right\Vert=\frac{\left\Vert c-a\right\Vert}{\Vert c\Vert\Vert a\Vert}$, y $\left\Vert y-z\right\Vert=\frac{\left\Vert b-c\right\Vert}{\Vert b\Vert\Vert c\Vert}$. Por lo tanto, $$\left\Vert y-z\right\Vert\Vert x\Vert=\frac{\left\Vert b-c\right\Vert}{\Vert a\Vert\Vert b\Vert\Vert c\Vert}\\\leq\frac{\left\Vert a-b\right\Vert}{\Vert a\Vert\Vert b\Vert\Vert c\Vert}+\frac{\left\Vert c-a\right\Vert}{\Vert a\Vert\Vert b\Vert\Vert c\Vert}\\=\left\Vert x-y\right\Vert\Vert z\Vert + \left\Vert z-x\right\Vert\Vert y\Vert,$$, que completa la prueba.