¿Por qué no $ds^2 = 0$ implica dos puntos distintos $p$ $p'$ en un colector son el mismo punto?

Question

Supongamos que tengo un espacio-tiempo colector $M$. Deje $p$ ser un punto en mi colector. Ahora me muevo de $p$ a algún otro punto de $p'$. Presumiblemente debería haber movido algunos "distancia" a la derecha? Cómo puedo hablar de las nociones de espacio y tiempo si yo no tengo la concepción de distancia?

Consideremos ahora la luz se mueve a través del espacio-tiempo. Supongamos que mi luz comienza a $p = (0,0,0,0)$ y viaja a $p' = (1,1,0,0)$. Por la definición del espacio-tiempo de intervalo de $ds^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$, esto debe significar $ds^2 = (1)^2 - (1)^2 - 0 - 0 = 0$. Por lo $ds^2=0$.

Sin embargo, me han trasladado de un punto a a $p$$p'$. Así que claramente han movido a lo largo de un camino a lo largo de la curva, pero la duración de esta ruta es cero. No debería decir $p$ $p'$ son el mismo punto?

Nota: creo que puede estar sufriendo de una excesivamente Euclidiana mentalidad y mi cerebro no se ha adaptado aún suficiente para la no-Euclidiana lógica de semi-Riemann colectores.

Mi Pregunta

Alguien puede resolver esta contradicción?

Answer 1

Vamos a separar algunas definiciones:

métrica(1): Dado un conjunto $X$, en función de la $d : X \times X \to \mathbb{R}$ de manera tal que los siguientes axiomas mantenga para todos los $x,y,z \in X$:

• $d(x,y) \geq 0$,
• $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$,
• $d(x,y) = d(y,x)$, y
• $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$.

pseudo-métrica(1): Dado un conjunto $X$, en función de la $d : X \times X \to \mathbb{R}$ de manera tal que los siguientes axiomas mantenga para todos los $x,y,z \in X$:

• $d(x,x) = 0$,
• $d(x,y) = d(y,x)$, y
• $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$.

métrica(2): (también conocido como "interior del producto") Dado un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$, el cual es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, en función de la $g : V \times V \to F$ de manera tal que los siguientes axiomas mantenga para todos los $x,y,z \in V$$a \in F$:

• $g(x,y) = \overline{g(y,x)}$;
• $g(ax,y) = a g(x,y)$,
• $g(x+y,z) = g(x,z) + g(y,z)$,
• $g(x,x) \geq 0$, y
• $g(x,x) = 0 \rightarrow x = 0$.

pseudo-métrica(2): (también conocido como "pseudo interior del producto") Dado un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$, el cual es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, en función de la $g : V \times V \to F$ de manera tal que los siguientes axiomas mantenga para todos los $x,y,z \in V$$a \in F$:

• $g(x,y) = \overline{g(y,x)}$;
• $g(ax,y) = a g(x,y)$,
• $g(x+y,z) = g(x,z) + g(y,z)$, y
• $\exists\ v \in V : g(x,v) \neq 0$.

Ahora desea definir una distancia entre puntos en un colector. Que son intuitivamente buscando un (pseudo-)métrica(1) aquí, una función de distancia en un conjunto sin ningún extra estructura. El problema es que todo lo que le den es un (pseudo-)métrico(2) en el espacio de la tangente en cada punto. Su (pseudo-)métrico(2) sólo se puede dar a usted las magnitudes de los vectores de tangentes en los puntos. Intuitivamente, estos son "infinitesimal distancias." Usted necesidad de integrar tales magnitudes a lo largo de una ruta de acceso con el fin de obtener las distancias entre los puntos.

Pero este es el quid de la cuestión: ¿Qué camino escoger? Incluso para un buen colector como la superficie de una 2-esfera (es decir, algo con un verdadero sistema métrico(2), no sólo un pseudo-métrica(2), en su tangente bundle), la distancia entre los puntos es el camino dependientes. Usted puede volar directamente desde Nueva York a Londres, a lo largo de un gran círculo (geodésica), o usted puede parar en Beijing.

Si usted tiene positivo de la definición de trabajo para usted, usted podría tomar el infimum largo de todas las rutas de un punto a otro. Considerar las curvas de la forma \begin{align} \gamma : [0,1] & \to M \\ \lambda & \mapsto p \\ 0,1 & \mapsto p_1,p_2. \end{align} Entonces $$ d(p_1,p_2) = \inf_\gamma \int_0^1 \left(g_p \left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}\lambda}, \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}\lambda}\right)\right)^{1/2} \, \mathrm{d}\lambda $$ define una función de distancia en la métrica(1) sentido siempre como $g_p$ es un honesto métrica(2) producto interior en cada una de las $p$.

Por desgracia, cuando se trate de esto con un colector de Lorenz equipado con un pseudo-métrica(2), la construcción no puede producir nada útil. Incluso teniendo un valor absoluto antes de la raíz cuadrada, siempre habrá un diferenciable a trozos null camino entre dos puntos. Por lo tanto habrá diferenciable curvas de longitud arbitrariamente cerca de $0$, y para el pseudo-métrica(1) se induce es trivial: las distancias son $0$.

Answer 2

Yo creo que puede ayudar a pensar sobre el espacio-tiempo de intervalo de $\text{d}s^2$ como una medida de movimiento en el espacio-tiempo en relación a la velocidad de la luz. Digamos que usted desea mover desde un punto de $p=(0,0,0,0)$ a otro punto de $p'=(t,x,0,0)$. La cantidad de $\text{d}s^2 = c^2\text{d}t^2-\text{d}x^2$ es entonces:

• Positivo si $x<ct$, lo que significa que usted recorre la distancia más lento que la velocidad de la luz;
• Cero si $x = ct$, lo que significa que usted recorre exactamente a la velocidad de la luz;
• Negativo si $x>ct$, lo que significa que usted recorre la distancia más rápido que la velocidad de la luz.

Así que con la métrica de la convención de que usted use, en especial de la relatividad dicta que cualquier masiva de partículas sólo pueden atravesar positivo el espacio-tiempo de los intervalos, y cualquier masa de la partícula sólo puede atravesar el espacio-tiempo cero intervalos, desde todas las distancias se miden con respecto a la forma de un fotón podría moverse entre los puntos.

Answer 3

Sí, todavía no hemos adaptado. Que bien. Deja que te lleve a través de ella.

En este convencionales mundo de la física clásica se han separado de las nociones de distancia y tiempo, con la idea de que cualquiera de los dos eventos ocurren al mismo tiempo y por lo tanto, tienen un objetivo de distancia entre ellos, o los dos eventos que suceden en diferentes momentos y por lo tanto, tienen un objetivo de tiempo entre ellos. Es siempre uno o el otro, no ambos, no: si hay una brecha de tiempo entre dos eventos, entonces, existe algún marco de referencia que se ve en la distancia L, para cualquier L le gustaría; de lo contrario, si la brecha de tiempo es cero, entonces todo el mundo está de acuerdo en que la distancia entre los dos eventos. Esto le permite congelar un momento en el tiempo y hablar de distancias.

En la relatividad, hacemos las cosas un poco más complicado, pero también más realista. Es casi la misma historia, pero no del todo. Pensar, decir, la explosión de una supernova-lo vemos como un brillante destello en el cielo estrellado, si usted fuera a "mirar hacia abajo", se parecen a un evento en el espacio-tiempo con un horizonte de luz que anuncia el acontecimiento expansión hacia el exterior a la velocidad de la luz. Que "la expansión de la burbuja" es importante. En la relatividad es lo que llamamos la burbuja de un "cono de luz".

Imaginemos a dos en expansión-a-la-velocidad-$c$ burbujas. Topológicamente, ya sea una burbuja que está dentro de la otra, o que ambos se cruzan en un anillo (cuando están lo suficientemente grande como para que se cruzan en todas!), o que ambos se cruzan en un solo punto donde se "kiss" de cada uno de los otros. Esas son las tres posibilidades: tiempo separados, separados por espacios, y null separados. Corresponden a una positiva métrica, negativo métrica, y 0 métrica. Las transformaciones de Lorentz preservar esta topología ya que preservar la métrica en general; de los conos de luz se correlacionan con otros conos de luz con la misma estructura con relación a la otra.

Dado el tiempo separados, usted todavía tiene que dos cosas no son objetivamente separados por espacios, como no hay un marco de referencia para una nave espacial que pasa a través de ambos eventos en el espacio-tiempo. Dado separados por espacios, que también tienen que no son objetivamente tiempo separados; que es un poco más sutil, pero imaginar a alguien en la ampliación de un "anillo" donde las burbujas se "cruzan": ellos pueden ver ambos eventos simultáneamente con su local aparato. La demanda es, dado el derecho de velocidad, que llegarían a las distancias de nuevo a la original de los acontecimientos, tanto como L, con lo que ellos piensan que ambos eventos fueron simultáneas, demostrando que no hay ningún objetivo de tiempo de ordenar.

Null separados es la nueva bestia que tendrás que aceptar, que se extiende entre los. Es objetivamente "tiempo separados", ya que hasta un punto, en un cono de luz es "dentro" de la otra, por lo tanto se puede decir que uno viene "antes" de la otra. Sin embargo, en el límite, ya puedes ir más rápido y más rápido, tratando de ser en los dos eventos al mismo tiempo, que, literalmente, no ver pasar el tiempo entre los dos eventos. Del mismo modo es objetivamente "espacio separado", pero hay marcos de referencia que hacen que la distancia entre los dos eventos arbitrariamente pequeño.

Esos son los valores de métricas y lo que significan. La "distancia" es con relación a esta nueva noción de "básicamente, en el mismo lugar, básicamente, en el mismo tiempo" y puede ser negativo para la correcta distancias o positivo para el momento apropiado.

Usted puede ver esto, también, si se quiere, como la ampliación de la noción de "presente" arriba de un avión en la física clásica, el espacio entre dos conos de luz. Un cono de luz representa a todos los eventos en el "pasado", que "han visto" por este espacio-tiempo (punto de luz de ellos ha tenido la oportunidad de llegar al punto); y otro poquito de código representa a todos los eventos en el "futuro" que "han visto" este espacio-tiempo; el spacelike separados lo es todo en un "relativista presente" en relación a este punto; las diferentes transformaciones de Lorentz elegir diferentes planos por el punto como "presente aviones", pero esta opción es más arbitraria.