Al calcular el cociente del anillo de $\mathbb{R}[X]$

Question

Parte de una antigua Oxford examen (1992 A1)

Queremos encontrar qué elementos del cociente del anillo de $\mathbb{R}[X]/(x^3-x^2+x-1)$ es igual a su propia plaza.

Ahora, observamos primero que $x^3-x^2+x-1=(x-1)(x^2+1)$

Deje $f(x)=(x-1)(x^2+1)$. Claramente tenemos $[1+(f(x))]^2=[1+(f(x))]$ pero no veo cómo encontrar a los demás. Cualquier orientación se agradece.

Gracias.

Answer 1

Tu pregunta anterior preocupación generalizada de la CRT. Así que usted sabe que

$$\frac{{\bf R}[x]}{(x-1)(x^2+1)}\cong\frac{{\bf R}[x]}{(x-1)}\times \frac{{\bf R}[x]}{(x^2+1)}\cong {\bf R}\times{\bf C}$$

Encontrar el idempotents en $\bf R$ $\bf C$ encontrar el idempotents en ${\bf R}\times{\bf C}$, a continuación, tirar de ellos hacia atrás a través de la isomorphisms implícito arriba.

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De hecho, la idempotents de ${\bf R}\times{\bf C}$ $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,0)$, $(1,1)$. La primera y la última corresponde a $0$$1$$S={\bf R}[x]/(x-1)(x^2+1)$. Para encontrar lo que otros corresponden a, por ejemplo, resolver

$$f(x)\equiv\begin{cases}0 & \mod x-1, \\ 1 & \mod x^2+1. \end{cases} $$

sin pérdida de generalidad con $\deg f(x)\le 2$. Por lo tanto, podemos escribir la $f(x)=(ax+b)(x-1)$ y resolver para $a,b$ mediante la distribución de este producto, la reducción de mod $x^2+1$ y ajuste igual a cero. El otro caso se procede exactamente de la misma manera.