encontrar el mayor número de

Question

Tengo una pregunta con respecto a este problema que consiste en encontrar el mayor número. Con sólo mirar el problema, sé que la respuesta debe ser (d), pero, ¿cómo puedo demostrar que (d) es mayor que (c) de una forma sencilla?

Cuál de los siguientes es el número más grande:

$$\begin{align} &\textrm{(a)}\quad 3.14^3 &\quad\textrm{(b)}\quad 3^{3.14} &\quad\textrm{(c)}\quad 3.14^{3.14} &\quad\textrm{(d)}\quad (1/3)^{-4} \end{align}$$

Answer 1

$$3.14^{3.14}\lt 3.2^{3.5}=3.2^3\times 3.2^{1/2}\lt 3.2^3\times 4^{1/2}=32.768\times 2\lt 81= 3^4=(1/3)^{-4}$$

Answer 2

mathlove's solución es buena. Creo que la siguiente es un poco más fácil:

$3.14^{3.14} = 3^3\times\left(\frac{3.14}{3}\right)^3\times3.14^{0.14}$. Tan sólo tenemos el producto de la segunda y la tercera factores a ser de no más de 3.

El segundo factor es $<1.1^3=1.331<1.5$. El tercer factor es (mucho) de menos de $4^{0.5}=2$. De modo que el producto de estos factores es $<3$.

Answer 3

Para demostrar $3^4 \ge 3.14^{3.14}\tag{1}$

Tomar registro en ambos lados

Para demostrar $\frac{4}{3.14} \ge \frac{log(3.14)}{log(3)}$

$\frac{4}{3.14} = 1.274$

$\frac{log(3.14)}{log(3)}=log_{3}3+log_{3}(1.03666) =1+0.036667 \aprox 1.03666$

$log (1+x)\approx x$ para cualquier base

Por lo tanto 1.274> 1.03666.

Va a probar el original de la declaración (1)