¿cómo podemos asumir que existe el infinito?

Question

Definición de infinito: Un conjunto es infinito si es equivalente a uno de su propia subconjuntos.

Sabemos que nuestro universo no contiene un número infinito de elementos (incluyendo partículas subatómicas), entonces, ¿cómo podemos asumir que existe el infinito?

Answer 1

Las matemáticas, por ser una creación humana, no necesariamente tiene nada que ver con el universo (además de que, difícilmente podría decir que conocer el universo no es infinito).

"El matemático es totalmente gratuita, dentro de los límites de su imaginación, para la construcción de lo mundos que a él le agrada. Lo que es de imaginar es una cuestión para su propio capricho; él no es lo que el descubrimiento de los principios fundamentales del universo ni de familiarizarse con las ideas de Dios." - J. W. N. Sullivan

"La matemática es un juego que se juega de acuerdo a ciertas reglas sencillas con significado marcas en el papel." - David Hilbert

Podemos tomar cualquier cosa como un axioma que queremos, aunque, por supuesto, que tienden a centrarse en las colecciones de los axiomas que son interesantes para nosotros. En particular, no hay nada que nos impida tomar como axiomas declaraciones que no se describir lo que (creemos que) sabemos acerca de la realidad, y que diferentes personas pueden decidir estudiar las consecuencias de las distintas colecciones de axiomas - incluso si dichas colecciones se contradicen unos a otros! Eres totalmente bienvenido a estudio de la teoría de conjuntos, donde se toma como un axioma que los conjuntos infinitos no existen, como estoy seguro que la gente ya lo hacen.

Answer 2

Tenga en cuenta que si bien es tentador pensar que las matemáticas sólo se utiliza para el modelo de nuestra realidad física, esto no es cierto.

Si esto era cierto, entonces ¿qué sentido tiene el número de $10^{100}$ hacer? Es más grande que el número de partículas en el universo visible, por lo que seguro que no puede representar físicamente.

Y sin embargo, incluso los antiguos griegos creían que si $n$ es un número entero, entonces $n+1$ existe. Así que si $10^{100}$ no existe, pero para cada $n$ que existe, $n+1$ no existe... algo va mal.

Incluso si usted no habla de conjuntos infinitos, el infinito es inherente en los números naturales como estamos acostumbrados a pensar acerca de ellos. Los conjuntos fueron creados para permitir a las colecciones de objetos matemáticos (números) a ser objetos matemáticos en su propio acuerdo. Así que, naturalmente, estamos inclinados a hablar sobre el conjunto de los números naturales, que es infinito.

Algunas personas rechazan este enfoque de las matemáticas, pueden creer que los conjuntos infinitos no existen, pero hay una infinidad de números naturales, sin embargo; o, a veces, que hay un número más grande (aunque no sabemos cuál es). Estos filosófica (y matemáticas), las escuelas de pensamiento se unieron bajo el término "finitism" (y ultrafinitism en el último caso).

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Algunos temas de interés.

1. ¿Qué significa para un conjunto de existir?
2. Es la matemática construido sobre supuestos?
3. Lo bueno es infinito?

Answer 3

No es $1$ e no es $n+1$. Eso es infinito.

Answer 4

Si realmente te quería preguntar "cómo" se supone que existe un conjunto infinito, que es simple: se incluye como una explícita asunción (es decir, un axioma), en los fundamentos de la teoría de conjuntos. Hasta ahora, que parece que a nadie ha sido capaz de encontrar una contradicción entre la asunción y el otro habitual de los axiomas de la teoría de conjuntos.

La razón por la que necesitamos para hacerlo es que el otro estándar de los axiomas de la teoría de conjuntos son no lo suficientemente fuerte como para dejar que nos lo demuestran — es posible construir modelos que satisfacer todos los demás axiomas de ZF teoría de conjuntos, pero que no tienen ningún conjuntos infinitos.

Entonces, ¿por qué nos quieren asumir la existencia de conjuntos infinitos, entonces? Bien, la razón por la que la teoría de conjuntos fue desarrollado en el primer lugar fue para que pudiéramos tener un lenguaje formal para hablar acerca de las colecciones de números. En particular, nos gustaría tener una manera formal de decir "todos los números" o, por ejemplo, "todos los números" o "todos los números impares" o "todos los números mayores que 5". En la teoría de conjuntos, llamamos a todas esas cosas "conjuntos" de los números.

Desafortunadamente, es fácil mostrar que, si un "conjunto de todos los números" existe, entonces no puede ser finito: es posible definir una correspondencia uno a uno entre el conjunto de los números pares y algunos subconjunto de la misma, como, por ejemplo, los números pares mayores que 10. (Trate de hacerlo usted mismo! No es difícil.) Por lo tanto, si queremos ser capaces de hablar de "los números" (o "los números impares", etc.) como un conjunto, entonces tenemos que construir nuestra teoría de conjuntos de tal manera que incluye algunos de los conjuntos infinitos.

La alternativa, por supuesto, es para trabajar en una teoría sin conjuntos infinitos, pero que se vuelve una especie de torpe bastante rápido, porque usted no será capaz de formalizar las declaraciones como "esta propiedad se cumple para todos los números pares", ya que "todos los números" no está bien definido en un finitistic la teoría de conjuntos. Usted puede evitar este tipo de limitaciones en diversas formas, por ejemplo, diciendo "si $x$ satisface la definición de un número par, entonces esta propiedad tiene para $x$" (que formalmente evita el uso de "números" como un conjunto), pero la mayoría de los matemáticos prefieren evitar tales lógico contorsiones y sólo el trabajo en una teoría en la que "los números" es una cosa (en concreto, un conjunto).