Varianza del producto de múltiples variables aleatorias independientes

Question

Conocemos la respuesta para dos variables independientes: $$ {\rm Var}(XY) = E(X^2Y^2) (E(XY))^2={\rm Var}(X){\rm Var}(Y)+{\rm Var}(X)(E(Y))^2+{\rm Var}(Y)(E(X))^2$$

Sin embargo, si tomamos el producto de más de dos variables, ${\rm Var}(X_1X_2 \cdots X_n)$, ¿cuál sería la respuesta en términos de varianzas y valores esperados de cada variable?

Answer 1

Supondré que las variables aleatorias $X_1, X_2, \cdots , X_n$ son independientes, condición que el OP no ha incluido en la declaración del problema. Con esta suposición, tenemos que $$\begin{align} \operatorname{var}(X_1\cdots X_n) &= E[(X_1\cdots X_n)^2]-\left(E[X_1\cdots X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2\cdots X_n^2]-\left(E[X_1]\cdots E[X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2]\cdots E[X_n^2] - (E[X_1])^2\cdots (E[X_n])^2\\ &= \prod_{i=1}^n \left(\operatorname{var}(X_i)+(E[X_i])^2\right) - \prod_{i=1}^n \left(E[X_i]\right)^2 \end{align}$$ Si el primer término del producto anterior se desarrolla, uno de los términos en la expansión anula el segundo término del producto anterior. Por lo tanto, para el caso $n=2$, tenemos el resultado declarado por el OP. Como señala @Macro, para $n=2$, no necesitamos suponer que $X_1$ y $X_2$ son independientes: la condición más débil de que $X_1$ y $X_2$ no están correlacionados y $X_1^2$ y $X_2^2$ tampoco están correlacionados es suficiente. Pero para $n \geq 3$, la falta de correlación no es suficiente. La independencia es suficiente, pero no es necesaria. Lo que se requiere es la factorización de la expectativa de los productos mostrados anteriormente en productos de expectativas, que la independencia garantiza.