Varianza del producto de múltiples variables aleatorias independientes

Question

Conocemos la respuesta para dos variables independientes: $$ {\rm Var}(XY) = E(X^2Y^2) (E(XY))^2={\rm Var}(X){\rm Var}(Y)+{\rm Var}(X)(E(Y))^2+{\rm Var}(Y)(E(X))^2$$

Sin embargo, si tomamos el producto de más de dos variables, ${\rm Var}(X_1X_2 \cdots X_n)$, ¿cuál sería la respuesta en términos de varianzas y valores esperados de cada variable?

Answer 1

Asumiré que las variables aleatorias $X_1, X_2, \cdots , X_n$ son independientes, condición que el OP no incluyó en el enunciado del problema. Con esta suposición, tenemos que $$\begin{align} \operatorname{var}(X_1\cdots X_n) &= E[(X_1\cdots X_n)^2]-\left(E[X_1\cdots X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2\cdots X_n^2]-\left(E[X_1]\cdots E[X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2]\cdots E[X_n^2] - (E[X_1])^2\cdots (E[X_n])^2\\ &= \prod_{i=1}^n \left(\operatorname{var}(X_i)+(E[X_i])^2\right) - \prod_{i=1}^n \left(E[X_i]\right)^2 \end{align}$$ Si se multiplica el primer término del producto anterior, uno de los términos en la expansión cancela el segundo término del producto anterior. Así que, para el caso $n=2$, obtenemos el resultado indicado por el OP. Como señala @Macro, para $n=2$, no es necesario asumir que $X_1$ y $X_2$ son independientes: la condición más débil de que $X_1$ y $X_2$ son incorrelacionados y que $X_1^2$ y $X_2^2$ también son incorrelacionados es suficiente. Pero para $n \geq 3$, la falta de correlación no es suficiente. La independencia es suficiente, pero no es necesaria. Lo que se requiere es el factorización de la expectativa de los productos mostrados arriba en productos de expectativas, lo que la independencia garantiza.