¿Qué es la topología de un mundo con los portales?

Question

Portal es un juego de video, donde se puede crear 2 discos $D\in\mathbb{R}^3$, lo que, a continuación, se identifican. El mundo está pegado juntos en estos puntos.

Esto me recuerda a la de algunos de los procedimientos para la construcción de espacios para CW complejo y otras cosas en topología algebraica. No sé si el que mata a sus propiedades, como la suavidad, pero que en realidad no importa aquí.

Mi pregunta:

¿Qué es la topología de un mundo con una o $n$ portales?

Si usted toma topológico de $\mathbb{R}^3$ y dos o incluso $2n$ en la misma separados en dos dimensiones de los discos de $D_1,D_2$ el cual se identifica (es decir de a pares), ¿cuál es la topología resultante?

La pregunta fue motivado por mi propia respuesta aquí.

Answer 1

Voy a tratar de responder a la pregunta, creo que usted debe tener preguntó en su lugar. Este debería ser, tal vez un coment en su lugar, pero es demasiado largo.

Tomar la unión de todos los muros en un portal de nivel. Este es un orientable en dos dimensiones del colector $M$. El conjunto de puntos que el jugador puede ocupar es algún componente conectado $C$ de el complemento del colector en $\mathbb R^3$. Vamos a $D$ ser el complemento de $C$. Si asumimos que no hay "flotante paredes" en el nivel, entonces $M$ es un (conectado) orientable superficie compacta, sin límite. Debido a la clasificación de superficies cerradas, $M$ tiene un género de $g\geq 0$, por lo que es homeomórficos de una esfera con $g$ asas. La identificación de dos discos en los $M$ es equivalente a la adición de otro identificador de la superficie. Puede que la imagen sólo por la excavación de un túnel en el interior $D$ entre los dos discos. Se verá algo como esto:

Tengo la imagen de esta página de la Wikipedia, que tiene dos más representaciones de la superficie de la misma.

Ahora, queda por abordar el caso de disparo de un portal en la pared y otro en una plataforma flotante. En este caso no se puede cavar un túnel en el interior $D$ entre los portales desde $D$ no está conectado. Podríamos sin embargo incrustar $C\subseteq \mathbb R^3$ en $\mathbb R^4$, y cavar un túnel entre los portales dentro de $\mathbb R^4-C$, pero ahora tenemos un espacio incrustado en $\mathbb R^4$, lo que, por supuesto, más difícil de imaginar. Así, el caso general de un portal de nivel es la unión de un número finito de esferas con manijas, donde los portales de conexión de los diferentes componentes de la pared es realizado por los túneles que se extiende en una cuarta dimensión. No sé si hay una manera más simple de describir esto.

Answer 2

Esta es una muy incompleta respuesta. Siento la matemática adecuada construcción de los portales deben ser ligeramente diferente de la anterior.

1) El jugador se mueve alrededor de un embedded compact conectado $3$-colector $M \subconjunto \mathbb R^3$, que tiene como frontera de un sistema cerrado colector $N=\parcial M$.

2) Aperture Science Handheld Portal Device actúa sobre $M$ por una operación similar a la que se conectarán operación de suma, actuando sólo en el límite. Obtenemos el nuevo espacio $M$ por tomar un par de disjuntas (homeomórficos a) $2$-discos $D_1, D_2 \subconjunto de N$ (los portales) y pegarlas a través de un homeomorphism $\phi: B_1\a B_2$ es decir, el cociente de la topología en $$ M'=\frac{M}{\{x \sim \phi(x)\}_{x \in B_1}} $$

El personaje se mueve ahora en una 3-variedad $M$ con el cierre de la frontera $$ \partial M' = \frac{N-B^\circ_1-B^\circ_2}{\{x \sim \phi(x)\}_{x \in \parcial B_1}} $$ Las posibilidades de los $3$-colector son probablemente limitada a la superficie de posibilidades, pero debido a que la superficie no necesita estar conectado es la clasificación no es tan simple. Creo que tendríamos que saber cómo utilizar Thurston de la conjetura de geometrización (ahora el Teorema? a la Perelman) para determinar las clases de portal-pistola de obtener los colectores.

A partir de $M$ puede agregar un identificador, y definitivamente con $n$ el portal de armas de fuego y comenzando con los $3$-disco usted puede obtener el relleno de la superficie orientable de género $n$. También puede conectar los componentes de la frontera con portales de hasta $\parcial M$ está conectado, pero no se puede ir en otra dirección y desconecte el límite. A continuación, el de obtener de los espacios y dependen mucho de la partida espacio.

No recuerdo exactamente la mecánica del juego, pero creo que en el juego el azul/naranja portal/antiportal fuerzas de $\phi$ a ser la orientación de la preservación. Pero no veo ninguna razón por la que no se podía programar el juego para permitir que la orientación de la reversión de los portales donde se puede salir con la izquierda y a la derecha de conmutación. En el caso de que usted también tendría que incluir la nonorientable superficies/3-variedades. Complicado.