¿Por favor explique la importancia de los operadores de Hecke sobre formas modulares? Estoy estudiando formas modulares sobre todo por mi cuenta y tengo un conocimiento bastante bueno hasta operadores de Hecke. Por lo tanto, me pregunto por qué nos preocupamos por ellos.
Respuestas
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Esta es una respuesta del laico. Operadores de Hecke viajan y son uno mismo-adjoint, de ahí el modular formas que son vectores propios wrt. todos los operadores de Hecke forman una base del espacio de todas las formas modulares (y lo mismo para formas de cúspide). Si $f$ tiene tal un vector propio entonces la serie de L correspondiente a $f$ coeficientes multiplicativos, es decir, se puede representar por un producto de Euler (sobre los números primos). Lo que yo sepa, los operadores de Hecke son importantes para las conexiones de formas modulares con teoría del número.
DBS
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Aquí hay un par de razones:
De manera abstracta en el espacio de las formas modulares (de un peso determinado y el nivel) es un espacio vectorial finito (tridimensional). Los operadores de Hecke darle una muy concretos (puesto de trabajo) de los operadores en este espacio vectorial y por lo tanto, usted puede conseguir un poco de control en esta espacios puramente en términos de álgebra lineal.
Los coeficientes de la cúspide de las formas (muy importante subconjunto) de las formas modulares contener la aritmética de la información. Históricamente hubo muchos notables conjeturas acerca de ellos. La introducción de Hecke operador desmitifican ellos y muchos de estos se convierten en simples conjeturas.
uno puede estudiar las formas modulares desde la perspectiva de la teoría de la representación y la geometría, y en ambos casos los operadores de Hecke surgir como lugar natural de las operaciones en este espacio. Esto sugiere que los operadores de Hecke están íntimamente conectadas con el estudio de las formas modulares.
Jack Shen
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